Номер 1.10, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.10. Объясните, почему не существует натуральных чисел $a$ и $b$ таких, что:

a) $152a + 134b = 12345$;

б) $150a + 135b = 1234$.

а)

Рассмотрим уравнение $152a + 134b = 12345$, где $a$ и $b$ — натуральные числа.

Проанализируем левую часть уравнения: $152a + 134b$.

Число $152$ является четным. Следовательно, произведение $152a$ будет четным числом для любого натурального $a$.

Число $134$ также является четным. Следовательно, произведение $134b$ будет четным числом для любого натурального $b$.

Сумма двух четных чисел ($152a$ и $134b$) всегда является четным числом. Таким образом, вся левая часть уравнения, $152a + 134b$, является четным числом.

Теперь рассмотрим правую часть уравнения: $12345$.

Это число оканчивается на цифру 5, а значит, является нечетным.

В итоге мы приходим к противоречию: четное число ($152a + 134b$) должно быть равно нечетному числу ($12345$), что невозможно. Следовательно, не существует таких натуральных чисел $a$ и $b$, которые удовлетворяли бы данному уравнению.

Ответ: Левая часть уравнения ($152a + 134b$) всегда является четным числом, так как представляет собой сумму двух четных слагаемых, в то время как правая часть ($12345$) является нечетным числом. Равенство между четным и нечетным числом невозможно.

б)

Рассмотрим уравнение $150a + 135b = 1234$, где $a$ и $b$ — натуральные числа.

Проанализируем левую часть уравнения, $150a + 135b$, на предмет делимости на 5.

Число $150$ оканчивается на 0, следовательно, оно делится на 5. Значит, произведение $150a$ также будет делиться на 5 для любого натурального $a$.

Число $135$ оканчивается на 5, следовательно, оно тоже делится на 5. Значит, произведение $135b$ будет делиться на 5 для любого натурального $b$.

Сумма двух чисел, каждое из которых делится на 5 ($150a$ и $135b$), также всегда делится на 5. Таким образом, вся левая часть уравнения, $150a + 135b$, должна быть кратна 5.

Теперь рассмотрим правую часть уравнения: $1234$.

Число делится на 5 только в том случае, если его последняя цифра — 0 или 5. Последняя цифра числа $1234$ — это 4. Следовательно, $1234$ не делится на 5.

Мы снова приходим к противоречию: число, кратное 5 ($150a + 135b$), должно быть равно числу, не кратному 5 ($1234$), что невозможно. Следовательно, не существует таких натуральных чисел $a$ и $b$, которые удовлетворяли бы данному уравнению.

Ответ: Левая часть уравнения ($150a + 135b$) всегда делится на 5, так как оба слагаемых ($150a$ и $135b$) делятся на 5, в то время как правая часть ($1234$) на 5 не делится. Равенство невозможно.