Номер 1.7, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Докажите, что:

1.7. а) Сумма двух чётных чисел есть чётное число;

б) сумма двух нечётных чисел есть чётное число;

в) сумма чётного и нечётного числа есть нечётное число;

г) если $x, y$ — произвольные натуральные числа, то $xy(x+y)$ и $xy(x-y)$ — чётные числа.

а) Сумма двух чётных чисел есть чётное число
Пусть даны два чётных числа $a$ и $b$. По определению, любое чётное число можно представить в виде $2n$, где $n$ — целое число.Тогда существуют целые числа $k$ и $m$ такие, что $a = 2k$ и $b = 2m$.Их сумма равна $a + b = 2k + 2m = 2(k+m)$.Поскольку $k$ и $m$ — целые числа, то их сумма $(k+m)$ также является целым числом. Обозначим $p = k+m$.Таким образом, сумма $a+b$ равна $2p$, что по определению является чётным числом.
Ответ: Сумма двух чётных чисел является чётным числом.

б) сумма двух нечётных чисел есть чётное число
Пусть даны два нечётных числа $a$ и $b$. По определению, любое нечётное число можно представить в виде $2n+1$, где $n$ — целое число.Тогда существуют целые числа $k$ и $m$ такие, что $a = 2k + 1$ и $b = 2m + 1$.Их сумма равна $a + b = (2k + 1) + (2m + 1) = 2k + 2m + 2 = 2(k+m+1)$.Поскольку $k$ и $m$ — целые числа, то выражение $(k+m+1)$ также является целым числом. Обозначим $p = k+m+1$.Таким образом, сумма $a+b$ равна $2p$, что по определению является чётным числом.
Ответ: Сумма двух нечётных чисел является чётным числом.

в) сумма чётного и нечётного числа есть нечётное число
Пусть даны чётное число $a$ и нечётное число $b$.Тогда существуют целые числа $k$ и $m$ такие, что $a = 2k$ и $b = 2m + 1$.Их сумма равна $a + b = 2k + (2m + 1) = 2(k+m) + 1$.Поскольку $k$ и $m$ — целые числа, то их сумма $(k+m)$ также является целым числом. Обозначим $p = k+m$.Таким образом, сумма $a+b$ равна $2p+1$, что по определению является нечётным числом.
Ответ: Сумма чётного и нечётного числа является нечётным числом.

г) если $x, y$ — произвольные натуральные числа, то $xy(x + y)$ и $xy(x ? y)$ — чётные числа
Чтобы доказать, что произведение является чётным, достаточно показать, что хотя бы один из его сомножителей является чётным числом. Для выражений $xy(x+y)$ и $xy(x-y)$ рассмотрим все возможные случаи чётности для натуральных чисел $x$ и $y$.
Случай 1: Хотя бы одно из чисел ($x$ или $y$) чётное.
Если $x$ — чётное, то произведения $xy(x+y)$ и $xy(x-y)$ содержат чётный множитель $x$, а значит, оба являются чётными. Аналогично, если $y$ — чётное, то оба произведения чётны.
Случай 2: Оба числа $x$ и $y$ нечётные.
В этом случае множители $x$ и $y$ нечётны. Рассмотрим чётность выражений $x+y$ и $x-y$.
Сумма двух нечётных чисел $x+y$ является чётным числом, что доказано в пункте б). Следовательно, произведение $xy(x+y)$ содержит чётный множитель $(x+y)$ и поэтому является чётным.
Разность двух нечётных чисел $x-y$ также является чётным числом. Если $x=2k+1$ и $y=2m+1$ (где $k,m$ - целые), то их разность $x-y = (2k+1)-(2m+1) = 2k-2m = 2(k-m)$, что является чётным числом. Следовательно, произведение $xy(x-y)$ содержит чётный множитель $(x-y)$ и также является чётным.
Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи, и в каждом из них оба выражения $xy(x+y)$ и $xy(x-y)$ являются чётными.
Ответ: Если $x, y$ — произвольные натуральные числа, то $xy(x+y)$ и $xy(x-y)$ — чётные числа.