Номер 1.12, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.12. Докажите, что:

а) $72^3 + 34^3$ делится на 106;

б) $(1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 181^3 + 182^3)$ делится на 183;

в) $18^3 + 26^3$ делится на 176;

г) $(2^3 + 3^3 + \dots + 196^3 + 197^3)$ делится на 199.

а) Для доказательства делимости выражения $72^3 + 34^3$ на 106 воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

В нашем случае $a=72$ и $b=34$. Подставим эти значения в формулу:

$72^3 + 34^3 = (72+34)(72^2 - 72 \cdot 34 + 34^2)$

Вычислим сумму в первых скобках: $72 + 34 = 106$.

Тогда выражение принимает вид:

$72^3 + 34^3 = 106 \cdot (72^2 - 72 \cdot 34 + 34^2)$

Поскольку один из множителей равен 106, а второй множитель $(72^2 - 72 \cdot 34 + 34^2)$ является целым числом, все произведение делится на 106 без остатка.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Требуется доказать, что сумма $S = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + 181^3 + 182^3$ делится на 183.

Воспользуемся формулой для суммы кубов первых $n$ натуральных чисел: $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$.

В данном случае $n = 182$. Подставим это значение в формулу:

$S = \left(\frac{182(182+1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{182 \cdot 183}{2}\right)^2$

Упростим выражение в скобках:

$S = (91 \cdot 183)^2 = 91^2 \cdot 183^2$

Полученное выражение является произведением, где один из множителей — $183^2$. Следовательно, вся сумма $S$ делится на 183.

Ответ: Утверждение доказано.

в) Докажем, что $18^3 + 26^3$ делится на 176. Снова применим формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Здесь $a=18$ и $b=26$.

$18^3 + 26^3 = (18+26)(18^2 - 18 \cdot 26 + 26^2) = 44 \cdot (18^2 - 18 \cdot 26 + 26^2)$

Мы видим, что выражение делится на 44. Чтобы доказать делимость на 176, нужно показать, что второй множитель $(18^2 - 18 \cdot 26 + 26^2)$ делится на $176 \div 44 = 4$.

Рассмотрим второй множитель. Так как 18 и 26 — четные числа, то $18 = 2 \cdot 9$ и $26 = 2 \cdot 13$.

Тогда $18^2 = (2 \cdot 9)^2 = 4 \cdot 81$, это число делится на 4.

$26^2 = (2 \cdot 13)^2 = 4 \cdot 169$, это число также делится на 4.

$18 \cdot 26 = (2 \cdot 9) \cdot (2 \cdot 13) = 4 \cdot 117$, и это произведение делится на 4.

Поскольку каждый член выражения $(18^2 - 18 \cdot 26 + 26^2)$ делится на 4, то и вся скобка делится на 4.

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде $44 \cdot (4k)$, где $k$ — целое число. $44 \cdot 4k = 176k$. Это означает, что $18^3 + 26^3$ делится на 176.

Ответ: Утверждение доказано.

г) Нужно доказать, что сумма $S = 2^3 + 3^3 + ... + 196^3 + 197^3$ делится на 199.

Количество слагаемых в сумме равно $197 - 2 + 1 = 196$. Это четное число, поэтому мы можем сгруппировать слагаемые в пары.

Сгруппируем первое слагаемое с последним, второе с предпоследним и так далее:

$S = (2^3 + 197^3) + (3^3 + 196^3) + ...$

Рассмотрим общую пару вида $k^3 + (199-k)^3$. Применим к ней формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$:

$k^3 + (199-k)^3 = (k + (199-k))(k^2 - k(199-k) + (199-k)^2)$

$k^3 + (199-k)^3 = 199 \cdot (k^2 - k(199-k) + (199-k)^2)$

Каждая такая пара содержит множитель 199, а значит, делится на 199.

В нашей сумме все слагаемые разбиваются на такие пары. Первая пара: $2^3 + 197^3$ (здесь $k=2$). Вторая пара: $3^3 + 196^3$ (здесь $k=3$). Последняя пара будет $(99^3 + 100^3)$ (здесь $k=99$, а $199-99=100$).

Так как вся сумма $S$ состоит из слагаемых, каждое из которых делится на 199, то и сама сумма делится на 199.

Ответ: Утверждение доказано.