Номер 1.13, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.13. a) Число $14a + 11b$ не делится на 5; докажите, что и $9a + b$ не делится на 5.

б) Число $17a + 29b$ не делится на 13; докажите, что и $4a + 3b$ не делится на 13.

а) Докажем утверждение методом от противного. Предположим, что число $9a + b$ делится на 5. Это означает, что существует такое целое число $k$, что $9a + b = 5k$.

Выразим из этого равенства $b$:
$b = 5k - 9a$

Теперь подставим это выражение для $b$ в исходное выражение $14a + 11b$, которое по условию не делится на 5:
$14a + 11(5k - 9a) = 14a + 55k - 99a = (14a - 99a) + 55k = -85a + 55k$

Вынесем общий множитель 5 за скобки:
$5(-17a + 11k)$

Так как $a$ и $k$ — целые числа, то выражение в скобках $(-17a + 11k)$ также является целым числом. Следовательно, число $5(-17a + 11k)$ делится на 5.Мы получили, что если $9a + b$ делится на 5, то и $14a + 11b$ тоже делится на 5. Но это противоречит условию задачи, согласно которому $14a + 11b$ не делится на 5.Наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: число $9a + b$ не делится на 5, что и требовалось доказать.

б) Докажем это утверждение также методом от противного. Предположим, что число $4a + 3b$ делится на 13. Это означает, что существует такое целое число $k$, что $4a + 3b = 13k$.

Теперь рассмотрим выражение $17a + 29b$. Постараемся выразить его через $4a + 3b$ и слагаемые, кратные 13. Для этого преобразуем коэффициенты при $a$ и $b$:
$17a = 13a + 4a$
$29b = 26b + 3b = 2 \cdot 13b + 3b$

Подставим эти преобразованные части обратно в выражение:
$17a + 29b = (13a + 4a) + (26b + 3b)$

Сгруппируем слагаемые:
$(13a + 26b) + (4a + 3b)$

Вынесем общий множитель 13 из первой скобки:
$13(a + 2b) + (4a + 3b)$

Мы предположили, что $4a + 3b$ делится на 13. Первое слагаемое, $13(a + 2b)$, очевидно, тоже делится на 13. Сумма двух чисел, делящихся на 13, также делится на 13. Следовательно, всё выражение $17a + 29b$ должно делиться на 13.Однако это противоречит условию задачи, в котором сказано, что число $17a + 29b$ не делится на 13.Это означает, что наше исходное предположение неверно.

Ответ: число $4a + 3b$ не делится на 13, что и требовалось доказать.