Номер 1.20, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.20. При каких значениях параметра a уравнение имеет два различных натуральных корня:

a) $ax^2 - (2a^2 + 5)x + 10a = 0;$

б) $ax^2 - (a^2 + 5)x + 3a - 5 = 0?$

а) $ax^2 - (2a^2 + 5)x + 10a = 0$

Для того чтобы уравнение имело два различных натуральных корня $x_1$ и $x_2$, должны выполняться следующие условия:

1. Уравнение должно быть квадратным, то есть старший коэффициент не должен быть равен нулю: $a \neq 0$. Если $a=0$, уравнение принимает вид $-5x = 0$, откуда $x=0$. Этот корень не является натуральным. Следовательно, $a \neq 0$.

2. Дискриминант уравнения $D$ должен быть строго положительным ($D > 0$), чтобы было два различных действительных корня.

3. Корни $x_1$ и $x_2$ должны быть натуральными числами ($x_1, x_2 \in \mathbb{N}, x_1 \neq x_2$).

Применим теорему Виета. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения. Тогда:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = \frac{2a^2 + 5}{a} = 2a + \frac{5}{a}$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{10a}{a} = 10$

Из второго уравнения следует, что произведение корней является постоянным числом, равным 10. Так как $x_1$ и $x_2$ — различные натуральные числа, нам нужно найти все пары таких чисел, произведение которых равно 10. Таких пар две:

• $\{1, 10\}$

• $\{2, 5\}$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: Корни уравнения равны 1 и 10.

Их сумма $x_1 + x_2 = 1 + 10 = 11$. Подставим это значение в формулу для суммы корней:

$2a + \frac{5}{a} = 11$

Умножим обе части на $a$ (мы уже знаем, что $a \neq 0$):

$2a^2 + 5 = 11a$

$2a^2 - 11a + 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $a$:

$D_a = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 121 - 40 = 81 = 9^2$

$a = \frac{11 \pm 9}{2 \cdot 2} = \frac{11 \pm 9}{4}$

Получаем два значения для $a$: $a_1 = \frac{11+9}{4} = 5$ и $a_2 = \frac{11-9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Случай 2: Корни уравнения равны 2 и 5.

Их сумма $x_1 + x_2 = 2 + 5 = 7$. Подставим это значение в формулу для суммы корней:

$2a + \frac{5}{a} = 7$

$2a^2 + 5 = 7a$

$2a^2 - 7a + 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $a$:

$D_a = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9 = 3^2$

$a = \frac{7 \pm 3}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 3}{4}$

Получаем еще два значения для $a$: $a_3 = \frac{7+3}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$ и $a_4 = \frac{7-3}{4} = 1$.

Теперь необходимо проверить условие $D > 0$ для исходного уравнения.

$D = (-(2a^2 + 5))^2 - 4 \cdot a \cdot (10a) = (2a^2 + 5)^2 - 40a^2 = 4a^4 + 20a^2 + 25 - 40a^2 = 4a^4 - 20a^2 + 25 = (2a^2 - 5)^2$.

Условие $D > 0$ означает $(2a^2 - 5)^2 > 0$, что эквивалентно $2a^2 - 5 \neq 0$, или $a^2 \neq \frac{5}{2}$.

Проверим найденные значения $a$: $5, \frac{1}{2}, \frac{5}{2}, 1$.

Для $a=5, a^2=25 \neq \frac{5}{2}$.

Для $a=\frac{1}{2}, a^2=\frac{1}{4} \neq \frac{5}{2}$.

Для $a=\frac{5}{2}, a^2=\frac{25}{4} \neq \frac{5}{2}$.

Для $a=1, a^2=1 \neq \frac{5}{2}$.

Все четыре найденных значения параметра $a$ удовлетворяют условию $D > 0$. Таким образом, все они являются решениями задачи.

Ответ: $a \in \{\frac{1}{2}, 1, \frac{5}{2}, 5\}$.

б) $ax^2 - (a^2 + 5)x + 3a - 5 = 0$

Аналогично пункту а), для наличия двух различных натуральных корней $x_1, x_2$ необходимо, чтобы $a \neq 0$ (иначе уравнение становится линейным $-5x-5=0$ с корнем $x=-1$, не являющимся натуральным) и дискриминант $D > 0$.

Применим теорему Виета:

Сумма корней: $S = x_1 + x_2 = \frac{a^2 + 5}{a} = a + \frac{5}{a}$

Произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = \frac{3a - 5}{a} = 3 - \frac{5}{a}$

Поскольку $x_1, x_2$ — натуральные числа, их сумма $S$ и произведение $P$ также должны быть натуральными числами. Так как корни различны, то $x_1 \ge 1, x_2 \ge 2$ (или наоборот), откуда следует $S = x_1 + x_2 \ge 3$ и $P = x_1 \cdot x_2 \ge 2$.

Выразим $a$ и $\frac{5}{a}$ из этих двух уравнений:

Из второго уравнения: $\frac{5}{a} = 3 - P$.

Подставим это в первое уравнение: $S = a + (3 - P)$, откуда $a = S + P - 3$.

Теперь подставим выражение для $a$ в формулу для $\frac{5}{a}$:

$\frac{5}{S + P - 3} = 3 - P$

$(S + P - 3)(3 - P) = 5$

Так как $S$ и $P$ — целые числа, то выражения в скобках $(S + P - 3)$ и $(3 - P)$ также являются целыми числами, и их произведение равно 5. Рассмотрим возможные целочисленные множители числа 5: $(1, 5)$, $(5, 1)$, $(-1, -5)$, $(-5, -1)$.

Проанализируем значения этих множителей с учетом ограничений на $S$ и $P$:

$S \ge 3$ и $P \ge 2$.

Тогда первый множитель $A = S + P - 3 \ge 3 + 2 - 3 = 2$.

А второй множитель $B = 3 - P \le 3 - 2 = 1$.

Нам нужно найти такую пару целых чисел $(A, B)$, что $A \cdot B = 5$, $A \ge 2$ и $B \le 1$.

Рассмотрим пары множителей числа 5:

1. $(A, B) = (1, 5)$. Не подходит, так как $A=1$, а должно быть $A \ge 2$.

2. $(A, B) = (5, 1)$. Эта пара удовлетворяет условиям $A=5 \ge 2$ и $B=1 \le 1$.

Из $B = 3 - P = 1$ следует, что $P = 2$.

Из $A = S + P - 3 = 5$ следует, что $S + 2 - 3 = 5$, откуда $S=6$.

Итак, мы ищем два различных натуральных числа, сумма которых равна 6, а произведение — 2. Эти числа являются корнями квадратного уравнения $t^2 - St + P = 0$, то есть $t^2 - 6t + 2 = 0$.

Решим его: $t = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{28}}{2} = 3 \pm \sqrt{7}$.

Корни $3 + \sqrt{7}$ и $3 - \sqrt{7}$ не являются натуральными числами. Следовательно, этот случай не дает решений.

3. $(A, B) = (-1, -5)$. Не подходит, так как $A=-1$, а должно быть $A \ge 2$.

4. $(A, B) = (-5, -1)$. Не подходит, так как $A=-5$, а должно быть $A \ge 2$.

Поскольку ни один из возможных случаев не привел к паре различных натуральных корней, не существует таких значений параметра $a$, при которых данное уравнение имело бы два различных натуральных корня.

Ответ: таких значений $a$ не существует.