Номер 1.15, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.15. Найдите все такие натуральные числа $n$, при которых заданное выражение является натуральным числом:

a) $\frac{5n^2 + 7n - 12}{n}$;

б) $\frac{n^7 + 3n^2 + 36}{n^2}$.

а)

Чтобы найти все натуральные числа $n$, при которых выражение $\frac{5n^2 + 7n - 12}{n}$ является натуральным числом, преобразуем данное выражение.

Поскольку $n$ — натуральное число, мы можем разделить числитель почленно на знаменатель:

$\frac{5n^2 + 7n - 12}{n} = \frac{5n^2}{n} + \frac{7n}{n} - \frac{12}{n} = 5n + 7 - \frac{12}{n}$

Для того чтобы значение этого выражения было целым числом, необходимо, чтобы слагаемое $\frac{12}{n}$ было целым. Это возможно только в том случае, если $n$ является делителем числа 12.

Найдём все натуральные делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Теперь подставим каждое из этих значений $n$ в выражение $5n + 7 - \frac{12}{n}$ и проверим, будет ли результат натуральным числом (то есть положительным целым числом).

• При $n=1$: $5(1) + 7 - \frac{12}{1} = 5 + 7 - 12 = 0$. Число 0 не является натуральным.
• При $n=2$: $5(2) + 7 - \frac{12}{2} = 10 + 7 - 6 = 11$. Это натуральное число.
• При $n=3$: $5(3) + 7 - \frac{12}{3} = 15 + 7 - 4 = 18$. Это натуральное число.
• При $n=4$: $5(4) + 7 - \frac{12}{4} = 20 + 7 - 3 = 24$. Это натуральное число.
• При $n=6$: $5(6) + 7 - \frac{12}{6} = 30 + 7 - 2 = 35$. Это натуральное число.
• При $n=12$: $5(12) + 7 - \frac{12}{12} = 60 + 7 - 1 = 66$. Это натуральное число.

Таким образом, заданное выражение является натуральным числом при $n \in \{2, 3, 4, 6, 12\}$.

Ответ: 2, 3, 4, 6, 12.

б)

Рассмотрим выражение $\frac{n^7 + 3n^2 + 36}{n^2}$. Чтобы оно было натуральным числом при натуральном $n$, преобразуем его, разделив числитель почленно на знаменатель:

$\frac{n^7 + 3n^2 + 36}{n^2} = \frac{n^7}{n^2} + \frac{3n^2}{n^2} + \frac{36}{n^2} = n^5 + 3 + \frac{36}{n^2}$

Поскольку $n$ — натуральное число, $n^5$ и 3 также являются натуральными числами. Чтобы вся сумма была натуральным числом, необходимо, чтобы слагаемое $\frac{36}{n^2}$ было натуральным числом.

Это означает, что $n^2$ должно быть натуральным делителем числа 36.

Найдём все натуральные делители числа 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Теперь из этого списка выберем те числа, которые являются полными квадратами натуральных чисел, так как $n^2$ должно быть квадратом.

• $n^2 = 1 \implies n = 1$.
• $n^2 = 4 \implies n = 2$.
• $n^2 = 9 \implies n = 3$.
• $n^2 = 36 \implies n = 6$.

Другие делители (2, 3, 6, 12, 18) не являются квадратами натуральных чисел, поэтому они не могут быть равны $n^2$.

Таким образом, возможные натуральные значения для $n$ это 1, 2, 3, 6. При всех этих значениях $n^5+3+\frac{36}{n^2}$ будет натуральным числом.

Ответ: 1, 2, 3, 6.