Номер 1.9, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.9. а) Если $a + b$ делится на $c$, а $a - b$ не делится на $c$, то ни $a$, ни $b$ не делятся на $c$;

б) $ad + bc + ac + bd$ делится на $a + b$;

в) если $ad + bc$ делится на $a + b$, то и $ac + bd$ делится на $a + b$;

г) если $ad + bc$ не делится на $a + b$, то и $ac + bd$ не делится на $a + b$.

а)

Данное утверждение доказывается методом от противного.

Предположим, что одно из чисел, например $a$, делится на $c$. Это означает, что $a = kc$ для некоторого целого числа $k$. По условию, сумма $a+b$ делится на $c$, то есть $a+b = mc$ для некоторого целого $m$. Подставим выражение для $a$ в это равенство: $kc + b = mc$. Отсюда следует, что $b = mc - kc = (m-k)c$. Это означает, что число $b$ также делится на $c$.

Таким образом, если $a$ делится на $c$, то и $b$ должно делиться на $c$.

Теперь рассмотрим разность $a-b$. Если и $a$, и $b$ делятся на $c$, то их разность также должна делиться на $c$. Действительно, если $a=k_1c$ и $b=k_2c$, то $a-b = k_1c - k_2c = (k_1-k_2)c$, что является кратным $c$.

Однако это противоречит условию задачи, в котором сказано, что $a-b$ не делится на $c$. Следовательно, наше исходное предположение о том, что $a$ делится на $c$, было неверным.

Аналогичные рассуждения можно провести, если предположить, что $b$ делится на $c$. Это также приведет к выводу, что и $a$ делится на $c$, что, как мы показали, приводит к противоречию.

Следовательно, ни $a$, ни $b$ не делятся на $c$. Утверждение верно.

Ответ: Утверждение верно.

б)

Для доказательства этого утверждения преобразуем данное выражение путем группировки слагаемых и вынесения общих множителей.

Рассмотрим выражение $ad + bc + ac + bd$.

Сгруппируем слагаемые, содержащие общий множитель $c$ и общий множитель $d$:

$(ac + bc) + (ad + bd)$

Вынесем из первой скобки общий множитель $c$, а из второй — общий множитель $d$:

$c(a + b) + d(a + b)$

Теперь мы видим общий множитель $(a+b)$, который можно вынести за скобки:

$(a + b)(c + d)$

Полученное произведение $(a + b)(c + d)$ очевидно делится на $(a + b)$ без остатка. Таким образом, исходное выражение $ad + bc + ac + bd$ всегда делится на $a+b$.

Ответ: Утверждение верно.

в)

Пусть $X = ad+bc$ и $Y = ac+bd$. По условию, $X$ делится на $a+b$. Нам нужно доказать, что $Y$ также делится на $a+b$.

Рассмотрим сумму выражений $X$ и $Y$:

$X + Y = (ad+bc) + (ac+bd) = ad+bc+ac+bd$

Как было показано в пункте б), это выражение равно $(a+b)(c+d)$.

Итак, мы имеем равенство: $X+Y = (a+b)(c+d)$.

Выразим из него $Y$: $Y = (a+b)(c+d) - X$.

По условию, $X$ делится на $a+b$. Это означает, что $X$ можно представить в виде $X = k(a+b)$, где $k$ — некоторое целое число. Слагаемое $(a+b)(c+d)$ также очевидно делится на $a+b$. Поскольку разность двух выражений, каждое из которых делится на $a+b$, тоже делится на $a+b$, то и $Y$ делится на $a+b$.

$Y = (a+b)(c+d) - k(a+b) = (a+b)(c+d-k)$.

Это доказывает, что $Y$ (то есть $ac+bd$) делится на $a+b$.

Ответ: Утверждение верно.

г)

Это утверждение является логическим следствием пункта в). Докажем его методом от противного.

Пусть $X = ad+bc$ и $Y = ac+bd$. Мы знаем из предыдущих пунктов, что $X+Y = (a+b)(c+d)$.

По условию, $X$ не делится на $a+b$. Нам нужно доказать, что $Y$ тоже не делится на $a+b$.

Предположим обратное: пусть $Y$ делится на $a+b$. Это означает, что $Y = k(a+b)$ для некоторого целого числа $k$.

Рассмотрим выражение для $X$: $X = (a+b)(c+d) - Y$.

Подставим сюда наше предположение для $Y$:

$X = (a+b)(c+d) - k(a+b)$

Вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки:

$X = (a+b)(c+d-k)$

Из этого равенства следует, что $X$ делится на $a+b$. Но это прямо противоречит условию задачи, согласно которому $ad+bc$ (то есть $X$) не делится на $a+b$.

Следовательно, наше предположение было неверным. Значит, $ac+bd$ не может делиться на $a+b$.

Ответ: Утверждение верно.