Номер 1.3, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.3. Найдите какие-нибудь 36 идущих подряд трёхзначных чисел, среди которых нет ни одного, кратного 37. Какое наименьшее и какое наибольшее значение может принимать наименьшее из этих 36 трёхзначных чисел?

Найдите какие-нибудь 36 идущих подряд трёхзначных чисел, среди которых нет ни одного, кратного 37.

Числа, кратные 37, идут с шагом 37. В любой последовательности из 37 идущих подряд целых чисел будет ровно одно число, кратное 37. Следовательно, в последовательности из 36 идущих подряд чисел может быть либо одно, либо ни одного числа, кратного 37.

Чтобы в последовательности из 36 чисел не было ни одного, кратного 37, она должна целиком располагаться между двумя соседними числами, кратными 37. Пусть это числа $37k$ и $37(k+1)$, где $k$ - целое число. Тогда искомая последовательность будет иметь вид: $37k+1, 37k+2, \ldots, 37k+36$.

По условию, все числа в этой последовательности должны быть трёхзначными, то есть находиться в диапазоне от 100 до 999. Найдём подходящее значение для $k$.

Например, найдём кратные 37, близкие к 100:
$37 \times 2 = 74$
$37 \times 3 = 111$
$37 \times 4 = 148$

Рассмотрим промежуток между числами 111 ($=37 \times 3$) и 148 ($=37 \times 4$). Последовательность чисел, расположенных между ними, начинается с $111+1=112$ и заканчивается на $148-1=147$. Количество чисел в этой последовательности: $147 - 112 + 1 = 36$.

Все числа от 112 до 147 являются трёхзначными, и среди них нет ни одного, кратного 37. Эта последовательность удовлетворяет условию.

Ответ: Например, последовательность 36 чисел от 112 до 147.

Какое наименьшее и какое наибольшее значение может принимать наименьшее из этих 36 трёхзначных чисел?

Пусть $n$ — наименьшее число в искомой последовательности из 36 чисел. Тогда сама последовательность — это $n, n+1, \ldots, n+35$.
Как было показано выше, $n$ должно иметь вид $n = 37k+1$ для некоторого целого числа $k$.

Все 36 чисел должны быть трёхзначными. Это означает, что наименьшее число $n$ должно быть не меньше 100, а наибольшее, $n+35$, — не больше 999.
Получаем систему неравенств: $n \ge 100$ и $n+35 \le 999$.

Наименьшее значение $n$:
Ищем наименьшее $n = 37k+1$, удовлетворяющее $n \ge 100$.
$37k+1 \ge 100 \implies 37k \ge 99 \implies k \ge \frac{99}{37} \approx 2.67$.
Поскольку $k$ должно быть целым, наименьшее подходящее значение $k=3$.
Тогда наименьшее возможное значение для $n$ равно $n = 37 \times 3 + 1 = 112$.
Проверка: последовательность от 112 до $112+35=147$ полностью состоит из трёхзначных чисел.

Наибольшее значение $n$:
Ищем наибольшее $n = 37k+1$, удовлетворяющее $n+35 \le 999$.
Подставим $n = 37k+1$:
$(37k+1) + 35 \le 999 \implies 37k + 36 \le 999 \implies 37k \le 963$.
$k \le \frac{963}{37}$.
Так как $963 = 37 \times 26 + 1$, то $k \le 26 + \frac{1}{37}$.
Наибольшее целое значение $k$, удовлетворяющее этому неравенству, равно 26.
Тогда наибольшее возможное значение для $n$ равно $n = 37 \times 26 + 1 = 962 + 1 = 963$.
Проверка: последовательность от 963 до $963+35=998$ полностью состоит из трёхзначных чисел.

Ответ: Наименьшее значение, которое может принимать наименьшее из этих 36 чисел, равно 112, а наибольшее — 963.