Номер 121, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

121. Найдите значение $p$, при котором числа $p - 5$, $\sqrt{7p}$, $p + 4$ являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии.

Для решения этой задачи воспользуемся характеристическим свойством геометрической прогрессии: в последовательности чисел $b_1, b_2, b_3$ квадрат среднего члена равен произведению соседних членов.

$$b_2^2 = b_1 \cdot b_3$$

1. Составление уравнения

Подставим заданные выражения в формулу:

• $b_1 = p - 5$
• $b_2 = \sqrt{7p}$
• $b_3 = p + 4$

$$(\sqrt{7p})^2 = (p - 5)(p + 4)$$

2. Решение уравнения

Возведем левую часть в квадрат и раскроем скобки в правой части:

$7p = p^2 + 4p - 5p - 20$

Приведем подобные слагаемые и перенесем всё в одну сторону:

$7p = p^2 - p - 20$

$p^2 - 8p - 20 = 0$

Находим корни квадратного уравнения (например, по теореме Виета):

• Сумма корней: $p_1 + p_2 = 8$
• Произведение корней: $p_1 \cdot p_2 = -20$

Корни: $p_1 = 10$ и $p_2 = -2$.

3. Проверка ОДЗ и условий прогрессии

Так как в условии присутствует корень $\sqrt{7p}$, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $7p \ge 0 \Rightarrow p \ge 0$.

• $p = 10$: $10 \ge 0$ (подходит). Числа: $10-5=5$, $\sqrt{70}$, $10+4=14$.
  Проверка: $(\sqrt{70})^2 = 70$; $5 \cdot 14 = 70$. Верно.
• $p = -2$: $-2 < 0$ (не подходит для действительных чисел, так как корень из отрицательного числа не определен).

Ответ: $p = 10$