Номер 123, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

123. Три числа составляют геометрическую прогрессию. Если к первому из них прибавить 25, второе оставить без изменения, а третье разделить на 3, то получатся три числа арифметической прогрессии. Найдите данные числа, если второе число равно 60.

Пусть искомые три числа, составляющие геометрическую прогрессию, будут $b_1, b_2, b_3$. По условию задачи, второй член этой прогрессии равен 60, то есть $b_2 = 60$.

Обозначим знаменатель геометрической прогрессии через $q$. Тогда ее члены можно выразить через $b_2$ и $q$:
$b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{60}{q}$
$b_2 = 60$
$b_3 = b_2 \cdot q = 60q$

Далее, согласно условию, мы производим следующие действия с этими числами:

• К первому числу прибавляем 25: $a_1 = b_1 + 25 = \frac{60}{q} + 25$
• Второе число оставляем без изменения: $a_2 = b_2 = 60$
• Третье число делим на 3: $a_3 = \frac{b_3}{3} = \frac{60q}{3} = 20q$

Полученные три числа $a_1, a_2, a_3$ образуют арифметическую прогрессию.

Основное свойство арифметической прогрессии заключается в том, что каждый ее член, начиная со второго, является средним арифметическим своих соседей. Для наших чисел это записывается как:$a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$

Подставим в это равенство выражения для $a_1, a_2$ и $a_3$:$60 = \frac{(\frac{60}{q} + 25) + 20q}{2}$

Теперь решим это уравнение относительно $q$. Сначала умножим обе части на 2:$120 = \frac{60}{q} + 25 + 20q$

Перенесем 25 в левую часть уравнения:$120 - 25 = \frac{60}{q} + 20q$
$95 = \frac{60}{q} + 20q$

Чтобы избавиться от дроби, умножим все члены уравнения на $q$ (при условии $q \neq 0$, что справедливо для геометрической прогрессии):$95q = 60 + 20q^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:$20q^2 - 95q + 60 = 0$

Для удобства вычислений разделим все коэффициенты уравнения на 5:$4q^2 - 19q + 12 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = (-19)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 12 = 361 - 192 = 169 = 13^2$

Корни уравнения для $q$ равны:$q = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{19 \pm 13}{8}$

Мы получаем два возможных значения для знаменателя $q$:
$q_1 = \frac{19 + 13}{8} = \frac{32}{8} = 4$
$q_2 = \frac{19 - 13}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Это означает, что существуют два набора исходных чисел, удовлетворяющих условию задачи.

1. Если знаменатель $q = 4$, то исходные числа равны:
$b_1 = \frac{60}{4} = 15$
$b_2 = 60$
$b_3 = 60 \cdot 4 = 240$

2. Если знаменатель $q = \frac{3}{4}$, то исходные числа равны:
$b_1 = \frac{60}{3/4} = 60 \cdot \frac{4}{3} = 80$
$b_2 = 60$
$b_3 = 60 \cdot \frac{3}{4} = 45$

Ответ: 15, 60, 240 или 80, 60, 45.