Номер 117, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

117. a) Укажите номер данного члена арифметической прогрессии

$2; \frac{4}{3}; \frac{2}{3}; \dots$, если $a_n = -4$.

б) Укажите номер данного члена геометрической прогрессии

$4; 12; 36; \dots$, если $b_n = 972$.

а) Чтобы найти номер данного члена арифметической прогрессии, сначала определим её основные параметры: первый член $a_1$ и разность $d$.
Из условия задачи имеем арифметическую прогрессию $2; \frac{4}{3}; \frac{2}{3}; \dots$
Первый член прогрессии $a_1 = 2$.
Разность прогрессии $d$ найдем как разность между вторым и первым членами:
$d = a_2 - a_1 = \frac{4}{3} - 2 = \frac{4}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{2}{3}$.
Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Нам нужно найти номер $n$ для члена прогрессии $a_n = -4$. Подставим известные значения в формулу:
$-4 = 2 + (n-1) \cdot (-\frac{2}{3})$
Решим полученное уравнение относительно $n$:
$-4 - 2 = (n-1) \cdot (-\frac{2}{3})$
$-6 = (n-1) \cdot (-\frac{2}{3})$
Чтобы найти $(n-1)$, разделим обе части уравнения на $(-\frac{2}{3})$:
$n-1 = -6 : (-\frac{2}{3}) = -6 \cdot (-\frac{3}{2}) = \frac{18}{2} = 9$
$n-1 = 9$
$n = 9 + 1 = 10$
Таким образом, член прогрессии, равный -4, имеет номер 10.
Ответ: 10.

б) Чтобы найти номер данного члена геометрической прогрессии, определим её первый член $b_1$ и знаменатель $q$.
Из условия задачи имеем геометрическую прогрессию $4; 12; 36; \dots$
Первый член прогрессии $b_1 = 4$.
Знаменатель прогрессии $q$ найдем как отношение второго члена к первому:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{12}{4} = 3$.
Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Нам нужно найти номер $n$ для члена прогрессии $b_n = 972$. Подставим известные значения в формулу:
$972 = 4 \cdot 3^{n-1}$
Решим полученное уравнение относительно $n$:
Разделим обе части на 4:
$3^{n-1} = \frac{972}{4}$
$3^{n-1} = 243$
Теперь представим число 243 в виде степени с основанием 3:
$3^1=3, 3^2=9, 3^3=27, 3^4=81, 3^5=243$.
Таким образом, уравнение можно переписать в виде:
$3^{n-1} = 3^5$
Поскольку основания степеней равны, их показатели также должны быть равны:
$n-1 = 5$
$n = 5 + 1 = 6$
Следовательно, член прогрессии, равный 972, имеет номер 6.
Ответ: 6.