Страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

110. Укажите последовательность чисел, которая является ариф-метической прогрессией.

1) 2; 3; 5; 8; ...

2) 2; -2; -6; -10; ...

3) 2; 4; 8; 16; ...

4) 2; -1; 10; -7; 18; ...

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Это постоянное число называется разностью арифметической прогрессии ($d$). Чтобы определить, является ли последовательность арифметической прогрессией, необходимо проверить, постоянна ли разность между соседними членами ($d = a_{n+1} - a_n$).

Проанализируем каждую из предложенных последовательностей.

1) 2; 3; 5; 8; …

Найдем разность между последовательными членами:

$d_1 = a_2 - a_1 = 3 - 2 = 1$

$d_2 = a_3 - a_2 = 5 - 3 = 2$

Поскольку разности не равны ($1 \neq 2$), эта последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: не является арифметической прогрессией.

2) 2; -2; -6; -10; …

Найдем разность между последовательными членами:

$d_1 = a_2 - a_1 = -2 - 2 = -4$

$d_2 = a_3 - a_2 = -6 - (-2) = -6 + 2 = -4$

$d_3 = a_4 - a_3 = -10 - (-6) = -10 + 6 = -4$

Поскольку разность постоянна и равна $-4$, эта последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: является арифметической прогрессией.

3) 2; 4; 8; 16; …

Найдем разность между последовательными членами:

$d_1 = a_2 - a_1 = 4 - 2 = 2$

$d_2 = a_3 - a_2 = 8 - 4 = 4$

Поскольку разности не равны ($2 \neq 4$), эта последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: не является арифметической прогрессией.

4) 2; -1; 10; -7; 18; …

Найдем разность между последовательными членами:

$d_1 = a_2 - a_1 = -1 - 2 = -3$

$d_2 = a_3 - a_2 = 10 - (-1) = 10 + 1 = 11$

Поскольку разности не равны ($-3 \neq 11$), эта последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: не является арифметической прогрессией.

111. Укажите последовательность чисел, которая является геометрической прогрессией.

1) 2; 3; 5; 8; ...

2) 2; -2; -6; -10; ...

3) 16; 8; 4; 2; ...

4) 2; -1; 10; -7; 18; ...

Геометрической прогрессией называется такая числовая последовательность $b_1, b_2, b_3, \dots$, в которой каждый последующий член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же постоянное число $q$, называемое знаменателем прогрессии. То есть, для всех натуральных $n$ должно выполняться равенство $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$. Проверим предложенные последовательности на соответствие этому определению.

1) 2; 3; 5; 8; ...Для данной последовательности отношение второго члена к первому равно $\frac{3}{2} = 1.5$, а отношение третьего члена ко второму равно $\frac{5}{3}$. Поскольку $1.5 \neq \frac{5}{3}$, отношение не является постоянным. Следовательно, эта последовательность не является геометрической прогрессией.Ответ: не является геометрической прогрессией.

2) 2; -2; -6; -10; ...В этой последовательности отношение второго члена к первому составляет $\frac{-2}{2} = -1$, а отношение третьего члена ко второму — $\frac{-6}{-2} = 3$. Так как $-1 \neq 3$, отношение не является постоянной величиной. Следовательно, это не геометрическая прогрессия.Ответ: не является геометрической прогрессией.

3) 16; 8; 4; 2; ...Проверим отношения последовательных членов этой последовательности. Отношение второго члена к первому: $\frac{8}{16} = \frac{1}{2}$. Отношение третьего члена ко второму: $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$. Отношение четвертого члена к третьему: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Отношение постоянно и равно $q = \frac{1}{2}$. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией.Ответ: является геометрической прогрессией.

4) 2; -1; 10; -7; 18; ...Для этой последовательности отношение второго члена к первому равно $\frac{-1}{2} = -0.5$, а отношение третьего члена ко второму равно $\frac{10}{-1} = -10$. Поскольку $-0.5 \neq -10$, отношение не является постоянным. Значит, это не геометрическая прогрессия.Ответ: не является геометрической прогрессией.

Проанализировав все варианты, мы заключаем, что только последовательность под номером 3 является геометрической прогрессией.

112. a) Последовательность $(a_n)$ — арифметическая прогрессия.

Найдите $a_8$, если $a_1 = \frac{2}{3}$, $d = -\frac{1}{3}$.

б) Последовательность $(a_n)$ — арифметическая прогрессия.

Найдите $a_9$, если $a_1 = -\frac{1}{4}$, $d = \frac{3}{4}$.

а) Для нахождения n-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$ используется формула: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — её разность, а $n$ — номер искомого члена.

В данной задаче требуется найти восьмой член прогрессии ($n=8$), если известны первый член $a_1 = \frac{2}{3}$ и разность $d = -\frac{1}{3}$.

Подставим известные значения в формулу:

$a_8 = a_1 + (8-1)d = \frac{2}{3} + 7 \cdot (-\frac{1}{3})$

Выполним вычисления:

$a_8 = \frac{2}{3} - \frac{7}{3} = \frac{2-7}{3} = -\frac{5}{3}$

Ответ: $-\frac{5}{3}$

б) Аналогично, используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

В этой задаче требуется найти девятый член прогрессии ($n=9$), зная, что $a_1 = -\frac{1}{4}$ и $d = \frac{3}{4}$.

Подставим значения в формулу:

$a_9 = a_1 + (9-1)d = -\frac{1}{4} + 8 \cdot (\frac{3}{4})$

Выполним вычисления:

$a_9 = -\frac{1}{4} + \frac{8 \cdot 3}{4} = -\frac{1}{4} + \frac{24}{4} = \frac{-1+24}{4} = \frac{23}{4}$

Ответ: $\frac{23}{4}$

113. a) Последовательность $(b_n)$ — геометрическая прогрессия.

Найдите $b_4$, если $b_1 = -3$, $q = \frac{1}{2}$.

б) Последовательность $(b_n)$ — геометрическая прогрессия.

Найдите $b_6$, если $b_1 = \sqrt{2}$, $q = -\sqrt{2}$.

а)

Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии $(b_n)$ используется формула $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — номер искомого члена.

По условию задачи нам даны:
Первый член прогрессии $b_1 = -3$.
Знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$.
Нам нужно найти четвертый член прогрессии, то есть $b_4$, для которого $n=4$.

Подставим известные значения в формулу:
$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$
$b_4 = -3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3$

Теперь выполним вычисления:
$b_4 = -3 \cdot \frac{1^3}{2^3} = -3 \cdot \frac{1}{8} = -\frac{3}{8}$

Ответ: $b_4 = -\frac{3}{8}$

б)

Аналогично предыдущему пункту, используем формулу n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию задачи нам даны:
Первый член прогрессии $b_1 = \sqrt{2}$.
Знаменатель прогрессии $q = -\sqrt{2}$.
Нам нужно найти шестой член прогрессии, то есть $b_6$, для которого $n=6$.

Подставим известные значения в формулу:
$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5$
$b_6 = \sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2})^5$

Вычислим значение $(-\sqrt{2})^5$. Так как степень нечетная, знак минус сохранится:
$(-\sqrt{2})^5 = -(\sqrt{2})^5 = -(\sqrt{2 \cdot 2} \cdot \sqrt{2 \cdot 2} \cdot \sqrt{2}) = -(2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2}) = -4\sqrt{2}$

Теперь найдем значение $b_6$:
$b_6 = \sqrt{2} \cdot (-4\sqrt{2}) = -4 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) = -4 \cdot 2 = -8$

Ответ: $b_6 = -8$

114. a) Найдите разность арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_1 = -18, a_{10} = 18.$

б) Найдите знаменатель геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_1 = -4, b_6 = \frac{1}{8}.$

а) Для нахождения разности арифметической прогрессии $(a_n)$, обозначенной как $d$, используется формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Нам даны первый и десятый члены прогрессии: $a_1 = -18$ и $a_{10} = 18$.
Подставим эти значения в формулу для $n=10$:
$a_{10} = a_1 + (10-1)d$
$18 = -18 + 9d$
Теперь решим это линейное уравнение относительно $d$:
$9d = 18 - (-18)$
$9d = 18 + 18$
$9d = 36$
$d = \frac{36}{9}$
$d = 4$
Ответ: 4.

б) Для нахождения знаменателя геометрической прогрессии $(b_n)$, обозначенного как $q$, используется формула n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Нам даны первый и шестой члены прогрессии: $b_1 = -4$ и $b_6 = \frac{1}{8}$.
Подставим эти значения в формулу для $n=6$:
$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1}$
$\frac{1}{8} = -4 \cdot q^5$
Теперь решим это уравнение относительно $q$:
$q^5 = \frac{1/8}{-4}$
$q^5 = -\frac{1}{8 \cdot 4}$
$q^5 = -\frac{1}{32}$
Чтобы найти $q$, нужно извлечь корень пятой степени:
$q = \sqrt[5]{-\frac{1}{32}}$
Поскольку $2^5 = 32$, то $(-\frac{1}{2})^5 = -\frac{1}{32}$.
$q = -\frac{1}{2}$
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

115. a) Найдите первый член арифметической прогрессии ($a_n$), если $a_{18} = -9,6, d = 0,8.

б) Последовательность ($b_n$) — геометрическая прогрессия. Найдите $b_1$, если $b_8 = 512, q = 2.

а)

Для нахождения первого члена арифметической прогрессии $a_1$ используется формула n-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

где $a_n$ — n-й член прогрессии, $a_1$ — первый член, $n$ — номер члена, $d$ — разность прогрессии.

По условию задачи дано: $a_{18} = -9,6$, $d = 0,8$. Это означает, что $n=18$.

Подставим известные значения в формулу:

$a_{18} = a_1 + (18-1) \cdot d$

$-9,6 = a_1 + 17 \cdot 0,8$

Вычислим произведение:

$17 \cdot 0,8 = 13,6$

Теперь подставим результат в уравнение:

$-9,6 = a_1 + 13,6$

Выразим $a_1$:

$a_1 = -9,6 - 13,6$

$a_1 = -23,2$

Ответ: $-23,2$

б)

Для нахождения первого члена геометрической прогрессии $b_1$ используется формула n-го члена геометрической прогрессии:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

где $b_n$ — n-й член прогрессии, $b_1$ — первый член, $n$ — номер члена, $q$ — знаменатель прогрессии.

По условию задачи дано: $b_8 = 512$, $q = 2$. Это означает, что $n=8$.

Подставим известные значения в формулу:

$b_8 = b_1 \cdot q^{8-1}$

$512 = b_1 \cdot 2^7$

Вычислим степень:

$2^7 = 128$

Теперь подставим результат в уравнение:

$512 = b_1 \cdot 128$

Выразим $b_1$:

$b_1 = \frac{512}{128}$

$b_1 = 4$

Ответ: $4$

116. a) Найти сумму первых 25 членов арифметической прогрессии ($a_1$), если $a_1 = 18, d = -2$.

б) Найти сумму первых пяти членов конечной геометрической прогрессии, если $b_1 = 6, q = 3$.

а)

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии ($S_n$) используется формула:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

По условию задачи нам даны:

• первый член прогрессии $a_1 = 18$;
• разность прогрессии $d = -2$;
• количество членов $n = 25$.

Подставим эти значения в формулу для нахождения суммы первых 25 членов:

$S_{25} = \frac{2 \cdot 18 + (-2)(25-1)}{2} \cdot 25$

Выполним вычисления по шагам:

$S_{25} = \frac{36 + (-2)(24)}{2} \cdot 25$

$S_{25} = \frac{36 - 48}{2} \cdot 25$

$S_{25} = \frac{-12}{2} \cdot 25$

$S_{25} = -6 \cdot 25$

$S_{25} = -150$

Ответ: -150

б)

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии ($S_n$) при $q \neq 1$ используется формула:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

По условию задачи нам даны:

• первый член прогрессии $b_1 = 6$;
• знаменатель прогрессии $q = 3$;
• количество членов $n = 5$.

Подставим эти значения в формулу для нахождения суммы первых пяти членов:

$S_5 = \frac{6(3^5 - 1)}{3 - 1}$

Выполним вычисления по шагам:

Сначала вычислим $3^5$:

$3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$

Теперь подставим это значение обратно в формулу:

$S_5 = \frac{6(243 - 1)}{2}$

$S_5 = \frac{6 \cdot 242}{2}$

Сократим дробь на 2:

$S_5 = 3 \cdot 242$

$S_5 = 726$

Ответ: 726

117. a) Укажите номер данного члена арифметической прогрессии

$2; \frac{4}{3}; \frac{2}{3}; \dots$, если $a_n = -4$.

б) Укажите номер данного члена геометрической прогрессии

$4; 12; 36; \dots$, если $b_n = 972$.

а) Чтобы найти номер данного члена арифметической прогрессии, сначала определим её основные параметры: первый член $a_1$ и разность $d$.
Из условия задачи имеем арифметическую прогрессию $2; \frac{4}{3}; \frac{2}{3}; \dots$
Первый член прогрессии $a_1 = 2$.
Разность прогрессии $d$ найдем как разность между вторым и первым членами:
$d = a_2 - a_1 = \frac{4}{3} - 2 = \frac{4}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{2}{3}$.
Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Нам нужно найти номер $n$ для члена прогрессии $a_n = -4$. Подставим известные значения в формулу:
$-4 = 2 + (n-1) \cdot (-\frac{2}{3})$
Решим полученное уравнение относительно $n$:
$-4 - 2 = (n-1) \cdot (-\frac{2}{3})$
$-6 = (n-1) \cdot (-\frac{2}{3})$
Чтобы найти $(n-1)$, разделим обе части уравнения на $(-\frac{2}{3})$:
$n-1 = -6 : (-\frac{2}{3}) = -6 \cdot (-\frac{3}{2}) = \frac{18}{2} = 9$
$n-1 = 9$
$n = 9 + 1 = 10$
Таким образом, член прогрессии, равный -4, имеет номер 10.
Ответ: 10.

б) Чтобы найти номер данного члена геометрической прогрессии, определим её первый член $b_1$ и знаменатель $q$.
Из условия задачи имеем геометрическую прогрессию $4; 12; 36; \dots$
Первый член прогрессии $b_1 = 4$.
Знаменатель прогрессии $q$ найдем как отношение второго члена к первому:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{12}{4} = 3$.
Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Нам нужно найти номер $n$ для члена прогрессии $b_n = 972$. Подставим известные значения в формулу:
$972 = 4 \cdot 3^{n-1}$
Решим полученное уравнение относительно $n$:
Разделим обе части на 4:
$3^{n-1} = \frac{972}{4}$
$3^{n-1} = 243$
Теперь представим число 243 в виде степени с основанием 3:
$3^1=3, 3^2=9, 3^3=27, 3^4=81, 3^5=243$.
Таким образом, уравнение можно переписать в виде:
$3^{n-1} = 3^5$
Поскольку основания степеней равны, их показатели также должны быть равны:
$n-1 = 5$
$n = 5 + 1 = 6$
Следовательно, член прогрессии, равный 972, имеет номер 6.
Ответ: 6.