Страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

89. a) При каких значениях $q$ уравнение $x^2 - 7x + q = 0$ имеет два корня? Укажите такое наибольшее целое значение $q$.

б) При каких значениях $a$ уравнение $ax^2 + 5x + 15 = 0$ не имеет корней?

а)

Квадратное уравнение $x^2 - 7x + q = 0$ имеет два различных корня, когда его дискриминант $D$ строго больше нуля.

Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. В данном уравнении коэффициенты равны: $a=1$, $b=-7$, $c=q$.

Подставим значения в формулу дискриминанта:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot q = 49 - 4q$

Чтобы уравнение имело два корня, должно выполняться неравенство $D > 0$:

$49 - 4q > 0$

$49 > 4q$

$q < \frac{49}{4}$

$q < 12.25$

Условие, при котором уравнение имеет два корня, — $q < 12.25$.

Теперь необходимо указать наибольшее целое значение $q$, удовлетворяющее этому условию. Наибольшее целое число, которое меньше 12.25, — это 12.

Ответ: Уравнение имеет два корня при $q < 12.25$. Наибольшее целое значение $q$ равно 12.

б)

Рассмотрим уравнение $ax^2 + 5x + 15 = 0$. Необходимо проанализировать два случая в зависимости от значения параметра $a$.

Случай 1: $a = 0$.

Если $a=0$, уравнение перестает быть квадратным и становится линейным:

$0 \cdot x^2 + 5x + 15 = 0$

$5x + 15 = 0$

$5x = -15$

$x = -3$

В этом случае уравнение имеет один корень, что не удовлетворяет условию "не имеет корней".

Случай 2: $a \neq 0$.

При $a \neq 0$ уравнение является квадратным. Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ меньше нуля.

Коэффициенты уравнения: $a=a$, $b=5$, $c=15$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot a \cdot 15 = 25 - 60a$

Условие отсутствия корней: $D < 0$.

$25 - 60a < 0$

$25 < 60a$

$a > \frac{25}{60}$

Сократим дробь: $a > \frac{5}{12}$.

Таким образом, при $a > \frac{5}{12}$ уравнение не имеет корней.

Ответ: $a > \frac{5}{12}$.

90. a) Найдите наименьшее целое значение p, при котором разность дробей $\frac{3 - p}{4}$ и $\frac{5 - 2p}{18}$ отрицательна.

б) Найдите наибольшее целое значение k, при котором сумма дробей $\frac{5 - 2k}{4}$ и $\frac{9 + 2k}{6}$ положительна.

а) Чтобы найти наименьшее целое значение p, при котором разность дробей $\frac{3 - p}{4}$ и $\frac{5 - 2p}{18}$ отрицательна, необходимо составить и решить неравенство:

$ \frac{3 - p}{4} - \frac{5 - 2p}{18} < 0 $

Для решения приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 4 и 18 равно 36. Дополнительный множитель для первой дроби — 9, для второй — 2.

$ \frac{9 \cdot (3 - p)}{36} - \frac{2 \cdot (5 - 2p)}{36} < 0 $

Выполним вычитание дробей, работая с числителями:

$ \frac{27 - 9p - (10 - 4p)}{36} < 0 $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{27 - 9p - 10 + 4p}{36} < 0 $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{17 - 5p}{36} < 0 $

Дробь отрицательна, когда ее числитель и знаменатель имеют разные знаки. Так как знаменатель 36 — положительное число, то числитель должен быть отрицательным:

$ 17 - 5p < 0 $

$ 17 < 5p $

$ p > \frac{17}{5} $

$ p > 3.4 $

По условию, нам нужно найти наименьшее целое значение p, которое удовлетворяет этому неравенству. Наименьшее целое число, большее 3.4, это 4.

Ответ: 4.

б) Чтобы найти наибольшее целое значение k, при котором сумма дробей $\frac{5 - 2k}{4}$ и $\frac{9 + 2k}{6}$ положительна, составим и решим неравенство:

$ \frac{5 - 2k}{4} + \frac{9 + 2k}{6} > 0 $

Приведем дроби к общему знаменателю. НОК для 4 и 6 равно 12. Дополнительный множитель для первой дроби — 3, для второй — 2.

$ \frac{3 \cdot (5 - 2k)}{12} + \frac{2 \cdot (9 + 2k)}{12} > 0 $

Сложим числители:

$ \frac{15 - 6k + 18 + 4k}{12} > 0 $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{33 - 2k}{12} > 0 $

Дробь положительна, когда ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Так как знаменатель 12 — положительное число, то числитель также должен быть положительным:

$ 33 - 2k > 0 $

$ 33 > 2k $

$ k < \frac{33}{2} $

$ k < 16.5 $

Мы ищем наибольшее целое значение k, которое удовлетворяет этому неравенству. Наибольшее целое число, меньшее 16.5, это 16.

Ответ: 16.

91. Найдите значение k, при котором квадратное уравнение:

а) $5x^2 - kx + 5 = 0$ имеет два корня;

б) $3x^2 + 2kx - (k - 6) = 0$ имеет корни;

в) $3x^2 + 2kx + 12 = 0$ не имеет корней;

г) $2x^2 - kx + k + 6 = 0$ имеет не более одного корня.

Количество действительных корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ зависит от знака его дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих).
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Воспользуемся этими правилами для решения каждого пункта.

а) $5x^2 - kx + 5 = 0$ имеет два корня

Уравнение имеет два различных корня, если его дискриминант $D$ строго больше нуля.

В данном уравнении коэффициенты равны: $a = 5$, $b = -k$, $c = 5$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-k)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = k^2 - 100$.

Теперь решим неравенство $D > 0$:

$k^2 - 100 > 0$

$k^2 > 100$

Данное неравенство справедливо, если $k > 10$ или $k < -10$.

Ответ: $k \in (-\infty; -10) \cup (10; \infty)$.

б) $3x^2 + 2kx - (k - 6) = 0$ имеет корни

Уравнение имеет корни (один или два), если его дискриминант $D$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$.

В данном уравнении коэффициенты: $a = 3$, $b = 2k$, $c = -(k - 6) = 6 - k$.

Вычислим дискриминант:

$D = (2k)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (6 - k) = 4k^2 - 12(6 - k) = 4k^2 - 72 + 12k = 4k^2 + 12k - 72$.

Решим неравенство $D \ge 0$:

$4k^2 + 12k - 72 \ge 0$

Разделим обе части неравенства на 4 для упрощения:

$k^2 + 3k - 18 \ge 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $k^2 + 3k - 18 = 0$. Используя теорему Виета, получаем $k_1 = -6$ и $k_2 = 3$.

Графиком функции $y = k^2 + 3k - 18$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значит, значения функции неотрицательны при $k$, меньших или равных меньшему корню, и при $k$, больших или равных большему корню.

Ответ: $k \in (-\infty; -6] \cup [3; \infty)$.

в) $3x^2 + 2kx + 12 = 0$ не имеет корней

Уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ отрицателен ($D < 0$).

Коэффициенты уравнения: $a = 3$, $b = 2k$, $c = 12$.

Поскольку коэффициент $b$ является четным числом ($b = 2k$), удобнее использовать "упрощенный" дискриминант $D/4 = (b/2)^2 - ac$:

$D/4 = k^2 - 3 \cdot 12 = k^2 - 36$.

Решим неравенство $D/4 < 0$ (что эквивалентно $D < 0$):

$k^2 - 36 < 0$

$k^2 < 36$

Это неравенство выполняется для всех $k$, находящихся в интервале от -6 до 6.

Ответ: $k \in (-6; 6)$.

г) $2x^2 - kx + k + 6 = 0$ имеет не более одного корня

Уравнение имеет не более одного корня (то есть один корень или не имеет корней), если его дискриминант $D$ неположителен ($D \le 0$).

Коэффициенты уравнения: $a = 2$, $b = -k$, $c = k + 6$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-k)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (k + 6) = k^2 - 8(k + 6) = k^2 - 8k - 48$.

Решим неравенство $D \le 0$:

$k^2 - 8k - 48 \le 0$

Найдем корни уравнения $k^2 - 8k - 48 = 0$. С помощью формулы корней квадратного уравнения:

$k = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48)}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 192}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{8 \pm 16}{2}$.

Корни равны $k_1 = \frac{8 - 16}{2} = -4$ и $k_2 = \frac{8 + 16}{2} = 12$.

Графиком функции $y = k^2 - 8k - 48$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, значения функции неположительны при $k$, находящихся между корнями, включая сами корни.

Ответ: $k \in [-4; 12]$.

92. Квадратичная функция задана уравнением:

а) $y = 12 - 3x^2$;

б) $y = 0,5(x - 2)^2$;

в) $y = -(x - 1)^2 + 4$;

г) $y = 2x^2 - 4x + 5$.

Не выполняя построения графика, определите:

1) координаты вершины параболы;

2) ось симметрии параболы;

3) промежутки возрастания и убывания функции;

4) наибольшее либо наименьшее значение функции;

5) множество значений функции.

а) $y = 12 - 3x^2$

Данную функцию можно представить в виде $y = -3x^2 + 12$. Это частный случай квадратичной функции, записанной в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$, где $a = -3$, $h = 0$ и $k = 12$.

1) координаты вершины параболы

Координаты вершины параболы для функции в виде $y = a(x - h)^2 + k$ равны $(h, k)$. В нашем случае это $(0, 12)$.

Ответ: $(0, 12)$

2) ось симметрии параболы

Осью симметрии является вертикальная прямая, проходящая через вершину параболы, и ее уравнение $x = h$.

Ответ: $x = 0$

3) промежутки возрастания и убывания функции

Так как коэффициент $a = -3 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Функция возрастает на промежутке до вершины и убывает после нее.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, \infty)$.

4) наибольшее либо наименьшее значение функции

Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение в точке вершины. Это значение равно ординате вершины $k$.

Ответ: наибольшее значение функции $y_{max} = 12$.

5) множество значений функции

Множество значений функции (область значений) для параболы с ветвями, направленными вниз, представляет собой промежуток от минус бесконечности до наибольшего значения функции.

Ответ: $E(y) = (-\infty, 12]$

б) $y = 0,5(x - 2)^2$

Функция уже представлена в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$, где $a = 0,5$, $h = 2$ и $k = 0$.

1) координаты вершины параболы

Координаты вершины параболы равны $(h, k)$.

Ответ: $(2, 0)$

2) ось симметрии параболы

Уравнение оси симметрии $x = h$.

Ответ: $x = 2$

3) промежутки возрастания и убывания функции

Так как коэффициент $a = 0,5 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция убывает на промежутке до вершины и возрастает после нее.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 2]$ и возрастает на промежутке $[2, \infty)$.

4) наибольшее либо наименьшее значение функции

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в точке вершины. Это значение равно ординате вершины $k$.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = 0$.

5) множество значений функции

Множество значений функции для параболы с ветвями, направленными вверх, представляет собой промежуток от наименьшего значения до плюс бесконечности.

Ответ: $E(y) = [0, \infty)$

в) $y = -(x - 1)^2 + 4$

Функция представлена в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$, где $a = -1$, $h = 1$ и $k = 4$.

1) координаты вершины параболы

Координаты вершины параболы равны $(h, k)$.

Ответ: $(1, 4)$

2) ось симметрии параболы

Уравнение оси симметрии $x = h$.

Ответ: $x = 1$

3) промежутки возрастания и убывания функции

Так как коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Функция возрастает на промежутке до вершины и убывает после нее.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$ и убывает на промежутке $[1, \infty)$.

4) наибольшее либо наименьшее значение функции

Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение в точке вершины. Это значение равно ординате вершины $k$.

Ответ: наибольшее значение функции $y_{max} = 4$.

5) множество значений функции

Множество значений функции для параболы с ветвями, направленными вниз, представляет собой промежуток от минус бесконечности до наибольшего значения.

Ответ: $E(y) = (-\infty, 4]$

г) $y = 2x^2 - 4x + 5$

Функция задана в стандартном виде $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 2$, $b = -4$ и $c = 5$.

1) координаты вершины параболы

Найдем координаты вершины $(x_0, y_0)$. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.
Ординату вершины найдем, подставив $x_0$ в уравнение функции:
$y_0 = 2(1)^2 - 4(1) + 5 = 2 - 4 + 5 = 3$.

Ответ: $(1, 3)$

2) ось симметрии параболы

Уравнение оси симметрии $x = x_0$.

Ответ: $x = 1$

3) промежутки возрастания и убывания функции

Так как коэффициент $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция убывает на промежутке до вершины и возрастает после нее.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 1]$ и возрастает на промежутке $[1, \infty)$.

4) наибольшее либо наименьшее значение функции

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в точке вершины. Это значение равно ординате вершины $y_0$.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = 3$.

5) множество значений функции

Множество значений функции для параболы с ветвями, направленными вверх, представляет собой промежуток от наименьшего значения до плюс бесконечности.

Ответ: $E(y) = [3, \infty)$

93. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на данном промежутке:

а) $y = 2x^2 + 4x - 6$ на отрезке $[-3; -1];$

б) $y = -\frac{1}{3}(x + 4)^2$ на отрезке $[-7; -4];$

в) $y = 3x^2 - 6$ на луче $[-1; +\infty);$

г) $y = -2x^2 + 8x$ на интервале $(0; 4).$

94. Решите графически систему уравнений:

а) $\begin{cases} y = (x + 3)^2 - 3, \\ y = x + 6; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = -x^2 - 4x, \\ y = (x + 1)^2 - 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = 2x + 5, \\ y = -x^2 + 8x - 3; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = x^2 - 6x + 6, \\ y = -(x - 4)^2 + 2. \end{cases}$

а)

Решим систему уравнений $\begin{cases} y = (x + 3)^2 - 3 \\ y = x + 6 \end{cases}$ графически. Для этого построим графики обеих функций в одной системе координат.

График функции $y = (x + 3)^2 - 3$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Её вершина находится в точке $(-3, -3)$. Для более точного построения найдем несколько точек, принадлежащих параболе: $(-5, 1)$, $(-4, -2)$, $(-2, -2)$, $(-1, 1)$, $(0, 6)$.

График функции $y = x + 6$ — это прямая. Для её построения достаточно двух точек, например, $(0, 6)$ и $(-5, 1)$.

Построив оба графика, находим их точки пересечения. Эти точки и будут решениями системы. Из графика видно, что точки пересечения имеют координаты $(-5, 1)$ и $(0, 6)$.

Ответ: $(-5, 1)$, $(0, 6)$.

б)

Решим систему уравнений $\begin{cases} y = -x^2 - 4x \\ y = (x + 1)^2 - 1 \end{cases}$ графически.

Сначала построим график функции $y = -x^2 - 4x$. Это парабола с ветвями, направленными вниз. Координаты её вершины: $x_0 = -(-4)/(2 \cdot (-1)) = -2$, $y_0 = -(-2)^2 - 4(-2) = 4$. Вершина находится в точке $(-2, 4)$. Несколько точек для построения: $(0, 0)$, $(-1, 3)$, $(-3, 3)$, $(-4, 0)$.

Теперь построим график функции $y = (x + 1)^2 - 1$. Это парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(-1, -1)$. Несколько точек для построения: $(0, 0)$, $(-2, 0)$, $(-3, 3)$.

Нанеся оба графика на одну координатную плоскость, определим координаты их точек пересечения. Это точки $(-3, 3)$ и $(0, 0)$.

Ответ: $(-3, 3)$, $(0, 0)$.

в)

Решим систему уравнений $\begin{cases} y = 2x + 5 \\ y = -x^2 + 8x - 3 \end{cases}$ графически.

График функции $y = 2x + 5$ — это прямая. Для её построения возьмем две точки, например, $(0, 5)$ и $(2, 9)$.

График функции $y = -x^2 + 8x - 3$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Координаты её вершины: $x_0 = -8/(2 \cdot (-1)) = 4$, $y_0 = -(4)^2 + 8(4) - 3 = 13$. Вершина находится в точке $(4, 13)$. Несколько точек для построения: $(2, 9)$, $(3, 12)$, $(5, 12)$, $(6, 9)$.

Построим графики в одной системе координат. Точки пересечения прямой и параболы — это решения системы. Из графиков видно, что они пересекаются в точках с координатами $(2, 9)$ и $(4, 13)$.

Ответ: $(2, 9)$, $(4, 13)$.

г)

Решим систему уравнений $\begin{cases} y = x^2 - 6x + 6 \\ y = -(x - 4)^2 + 2 \end{cases}$ графически.

Построим график функции $y = x^2 - 6x + 6$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина находится в точке $(3, -3)$, что можно найти по формулам $x_0 = -(-6)/(2 \cdot 1) = 3$ и $y_0 = 3^2 - 6(3) + 6 = -3$. Для построения используем точки: $(1, 1)$, $(2, -2)$, $(4, -2)$, $(5, 1)$.

Построим график функции $y = -(x - 4)^2 + 2$. Это парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $(4, 2)$. Для построения используем точки: $(2, -2)$, $(3, 1)$, $(5, 1)$, $(6, -2)$.

Построив обе параболы в одной системе координат, находим их точки пересечения. Координаты этих точек: $(2, -2)$ и $(5, 1)$.

Ответ: $(2, -2)$, $(5, 1)$.