Номер 90, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

90. a) Найдите наименьшее целое значение p, при котором разность дробей $\frac{3 - p}{4}$ и $\frac{5 - 2p}{18}$ отрицательна.

б) Найдите наибольшее целое значение k, при котором сумма дробей $\frac{5 - 2k}{4}$ и $\frac{9 + 2k}{6}$ положительна.

а) Чтобы найти наименьшее целое значение p, при котором разность дробей $\frac{3 - p}{4}$ и $\frac{5 - 2p}{18}$ отрицательна, необходимо составить и решить неравенство:

$ \frac{3 - p}{4} - \frac{5 - 2p}{18} < 0 $

Для решения приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 4 и 18 равно 36. Дополнительный множитель для первой дроби — 9, для второй — 2.

$ \frac{9 \cdot (3 - p)}{36} - \frac{2 \cdot (5 - 2p)}{36} < 0 $

Выполним вычитание дробей, работая с числителями:

$ \frac{27 - 9p - (10 - 4p)}{36} < 0 $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{27 - 9p - 10 + 4p}{36} < 0 $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{17 - 5p}{36} < 0 $

Дробь отрицательна, когда ее числитель и знаменатель имеют разные знаки. Так как знаменатель 36 — положительное число, то числитель должен быть отрицательным:

$ 17 - 5p < 0 $

$ 17 < 5p $

$ p > \frac{17}{5} $

$ p > 3.4 $

По условию, нам нужно найти наименьшее целое значение p, которое удовлетворяет этому неравенству. Наименьшее целое число, большее 3.4, это 4.

Ответ: 4.

б) Чтобы найти наибольшее целое значение k, при котором сумма дробей $\frac{5 - 2k}{4}$ и $\frac{9 + 2k}{6}$ положительна, составим и решим неравенство:

$ \frac{5 - 2k}{4} + \frac{9 + 2k}{6} > 0 $

Приведем дроби к общему знаменателю. НОК для 4 и 6 равно 12. Дополнительный множитель для первой дроби — 3, для второй — 2.

$ \frac{3 \cdot (5 - 2k)}{12} + \frac{2 \cdot (9 + 2k)}{12} > 0 $

Сложим числители:

$ \frac{15 - 6k + 18 + 4k}{12} > 0 $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{33 - 2k}{12} > 0 $

Дробь положительна, когда ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Так как знаменатель 12 — положительное число, то числитель также должен быть положительным:

$ 33 - 2k > 0 $

$ 33 > 2k $

$ k < \frac{33}{2} $

$ k < 16.5 $

Мы ищем наибольшее целое значение k, которое удовлетворяет этому неравенству. Наибольшее целое число, меньшее 16.5, это 16.

Ответ: 16.