Номер 88, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

88. Найдите, при каких значениях переменной имеет смысл выражение:

а) $ \frac{\sqrt{3 - 5x - 2x^2}}{7x} $;

б) $ \frac{\sqrt{3x^2 - x - 14}}{2x + 5} $;

в) $ \frac{\sqrt{2 - 5x - 3x^2}}{9x} $;

г) $ \frac{\sqrt{3x^2 - 4x - 15}}{7 - 2x} $.

Для того чтобы найти, при каких значениях переменной выражение имеет смысл, необходимо найти область определения каждой функции. Для выражений, содержащих дробь и квадратный корень, должны выполняться два условия: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

а) Выражение $\frac{\sqrt{3 - 5x - 2x^2}}{7x}$ имеет смысл, если одновременно выполняются следующие условия:

1. Подкоренное выражение неотрицательно: $3 - 5x - 2x^2 \ge 0$.

2. Знаменатель не равен нулю: $7x \ne 0$.

Решим первое неравенство $3 - 5x - 2x^2 \ge 0$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $-2x^2 - 5x + 3 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(-2)(3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{-4} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{-4} = \frac{12}{-4} = -3$.
Графиком функции $y = -2x^2 - 5x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, неравенство $-2x^2 - 5x + 3 \ge 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решение первого неравенства: $x \in [-3, \frac{1}{2}]$.

Решим второе условие: $7x \ne 0$, откуда $x \ne 0$.

Теперь объединим оба условия: из отрезка $[-3, \frac{1}{2}]$ необходимо исключить точку $x=0$.

Ответ: $x \in [-3, 0) \cup (0, \frac{1}{2}]$.

б) Выражение $\frac{\sqrt{3x^2 - x - 14}}{2x + 5}$ имеет смысл при выполнении условий:

1. $3x^2 - x - 14 \ge 0$.

2. $2x + 5 \ne 0$.

Решим первое неравенство. Найдем корни уравнения $3x^2 - x - 14 = 0$.
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4(3)(-14) = 1 + 168 = 169 = 13^2$.
Корни: $x_1 = \frac{1 - 13}{6} = \frac{-12}{6} = -2$ и $x_2 = \frac{1 + 13}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$.
Графиком функции $y = 3x^2 - x - 14$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $3x^2 - x - 14 \ge 0$ выполняется на промежутках вне корней, включая сами корни.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup [\frac{7}{3}, +\infty)$.

Из второго условия $2x + 5 \ne 0$ получаем $2x \ne -5$, то есть $x \ne -2.5$.

Совместим оба условия. Точка $x = -2.5$ попадает в промежуток $(-\infty, -2]$, поэтому ее необходимо исключить.

Ответ: $x \in (-\infty, -2.5) \cup (-2.5, -2] \cup [\frac{7}{3}, +\infty)$.

в) Выражение $\frac{\sqrt{2 - 5x - 3x^2}}{9x}$ имеет смысл, если:

1. $2 - 5x - 3x^2 \ge 0$.

2. $9x \ne 0$.

Решим первое неравенство $2 - 5x - 3x^2 \ge 0$. Найдем корни уравнения $-3x^2 - 5x + 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4(-3)(2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
Корни: $x_1 = \frac{5 - 7}{-6} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}$ и $x_2 = \frac{5 + 7}{-6} = \frac{12}{-6} = -2$.
Ветви параболы $y = -3x^2 - 5x + 2$ направлены вниз, значит, неравенство $\ge 0$ выполняется между корнями.
Решение неравенства: $x \in [-2, \frac{1}{3}]$.

Второе условие: $9x \ne 0$, откуда $x \ne 0$.

Объединяя решения, исключаем точку $x=0$ из отрезка $[-2, \frac{1}{3}]$.

Ответ: $x \in [-2, 0) \cup (0, \frac{1}{3}]$.

г) Выражение $\frac{\sqrt{3x^2 - 4x - 15}}{7 - 2x}$ имеет смысл, когда:

1. $3x^2 - 4x - 15 \ge 0$.

2. $7 - 2x \ne 0$.

Решим первое неравенство. Найдем корни уравнения $3x^2 - 4x - 15 = 0$.
Дискриминант $D = (-4)^2 - 4(3)(-15) = 16 + 180 = 196 = 14^2$.
Корни: $x_1 = \frac{4 - 14}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$ и $x_2 = \frac{4 + 14}{6} = \frac{18}{6} = 3$.
Ветви параболы $y = 3x^2 - 4x - 15$ направлены вверх, поэтому неравенство $\ge 0$ выполняется на промежутках вне корней.
Решение: $x \in (-\infty, -\frac{5}{3}] \cup [3, +\infty)$.

Из второго условия $7 - 2x \ne 0$ получаем $2x \ne 7$, то есть $x \ne 3.5$.

Совмещая условия, мы должны исключить точку $x = 3.5$ из полученного множества. Точка $3.5$ принадлежит промежутку $[3, +\infty)$, поэтому этот промежуток разбивается на два.

Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{5}{3}] \cup [3, 3.5) \cup (3.5, +\infty)$.