Номер 93, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Дана функция $y = 2x^2 + 4x - 6$ на отрезке $[-3; -1]$.

Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $2$, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Своё наименьшее значение функция достигает в вершине параболы.

Найдём координату $x$ вершины параболы по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1$.

Вершина параболы $x_0 = -1$ принадлежит данному отрезку $[-3; -1]$. Это означает, что наименьшее значение функции на отрезке будет достигаться в точке $x = -1$.

Вычислим значение функции в вершине:
$y_{наим} = y(-1) = 2(-1)^2 + 4(-1) - 6 = 2 \cdot 1 - 4 - 6 = 2 - 10 = -8$.

Наибольшее значение на отрезке будет достигаться на одном из его концов. Поскольку на отрезке $[-3; -1]$ функция убывает до своей вершины, наибольшее значение будет в точке $x = -3$.

Вычислим значение функции в точке $x = -3$:
$y(-3) = 2(-3)^2 + 4(-3) - 6 = 2 \cdot 9 - 12 - 6 = 18 - 18 = 0$.

Итак, наименьшее значение функции на отрезке равно $-8$, а наибольшее равно $0$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -8$, наибольшее значение $y_{наиб} = 0$.

Дана функция $y = -\frac{1}{3}(x + 4)^2$ на отрезке $[-7; -4]$.

Это квадратичная функция, записанная в виде $y = a(x - x_0)^2 + y_0$. Её график — парабола с вершиной в точке $(x_0; y_0)$. В данном случае вершина находится в точке $(-4; 0)$.

Коэффициент $a = -\frac{1}{3}$ отрицателен, значит, ветви параболы направлены вниз. Своё наибольшее значение функция достигает в вершине.

Вершина параболы $x_0 = -4$ принадлежит данному отрезку $[-7; -4]$. Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке достигается в точке $x = -4$.

$y_{наиб} = y(-4) = -\frac{1}{3}(-4 + 4)^2 = 0$.

Наименьшее значение будет на одном из концов отрезка. Поскольку на отрезке $[-7; -4]$ функция возрастает до своей вершины, наименьшее значение будет в точке $x = -7$.

Вычислим значение функции в точке $x = -7$:
$y(-7) = -\frac{1}{3}(-7 + 4)^2 = -\frac{1}{3}(-3)^2 = -\frac{1}{3} \cdot 9 = -3$.

Итак, наименьшее значение функции на отрезке равно $-3$, а наибольшее равно $0$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -3$, наибольшее значение $y_{наиб} = 0$.

Дана функция $y = 3x^2 - 6$ на луче $[-1; +\infty)$.

Это квадратичная функция, график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $3$, он положителен, значит, ветви параболы направлены вверх. Наименьшее значение функция принимает в вершине.

Найдём вершину параболы. Здесь $b=0$, поэтому $x_0 = 0$.
Координата вершины $x_0 = 0$ принадлежит лучу $[-1; +\infty)$.

Так как ветви параболы направлены вверх и вершина находится внутри заданного луча, то наименьшее значение функции на этом луче будет равно значению в вершине.
$y_{наим} = y(0) = 3(0)^2 - 6 = -6$.

Поскольку луч $[-1; +\infty)$ уходит в бесконечность, а ветви параболы направлены вверх, функция неограниченно возрастает при $x \to +\infty$. Следовательно, наибольшего значения у функции на данном луче не существует.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -6$, наибольшего значения не существует.

Дана функция $y = -2x^2 + 8x$ на интервале $(0; 4)$.

Это квадратичная функция, график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-2$, он отрицателен, значит, ветви параболы направлены вниз. Наибольшее значение функция принимает в вершине.

Найдём координату $x$ вершины параболы:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$.

Вершина параболы $x_0 = 2$ принадлежит данному интервалу $(0; 4)$.

Так как ветви параболы направлены вниз и вершина находится внутри интервала, наибольшее значение функции на этом интервале будет равно значению в вершине.
$y_{наиб} = y(2) = -2(2)^2 + 8(2) = -2 \cdot 4 + 16 = -8 + 16 = 8$.

Для определения наименьшего значения рассмотрим поведение функции на границах интервала. Найдём значения функции в точках $x=0$ и $x=4$:
$y(0) = -2(0)^2 + 8(0) = 0$.
$y(4) = -2(4)^2 + 8(4) = -2 \cdot 16 + 32 = -32 + 32 = 0$.

Поскольку интервал $(0; 4)$ открытый, концы интервала в него не входят. Функция стремится к $0$ при $x \to 0^+$ и при $x \to 4^-$, но никогда не достигает этого значения. Можно взять значение функции сколь угодно близкое к $0$, но не равное ему. Таким образом, наименьшего значения на данном интервале не существует.

Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 8$, наименьшего значения не существует.