Номер 95, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

95. Функция задана формулой:

а) $y = \frac{1}{x} + 4;$ в) $y = -\frac{2}{x - 5};$

б) $y = -\frac{4}{x - 3} + 5;$ г) $y = \frac{3}{x + 1} - 2.$

Не выполняя построения графика, найдите:

1) область определения функции;

2) множество значений функции;

3) промежутки монотонности функции;

4) координаты центра симметрии гиперболы;

5) асимптоты гиперболы.

а) Для функции $y = \frac{1}{x} + 4$

1) область определения функции

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция определена. Для дробно-рациональной функции знаменатель дроби не должен равняться нулю. В данном случае знаменатель равен $x$, поэтому $x \neq 0$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2) множество значений функции

Множество значений функции — это множество всех значений, которые может принимать переменная $y$. Выражение $\frac{1}{x}$ может принимать любые значения, кроме нуля. Следовательно, сумма $\frac{1}{x} + 4$ может принимать любые значения, кроме 4.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

3) промежутки монотонности функции

Данная функция является частным случаем функции $y = \frac{k}{x-a} + b$. Здесь коэффициент $k=1$. Поскольку $k > 0$, функция является убывающей на каждом из промежутков своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

4) координаты центра симметрии гиперболы

График функции $y = \frac{1}{x} + 4$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{1}{x}$ на 4 единицы вверх по оси Oy. Центр симметрии гиперболы $y = \frac{1}{x}$ находится в точке $(0,0)$, следовательно, центр симметрии для данной функции находится в точке $(0, 4)$.

Ответ: $(0; 4)$.

5) асимптоты гиперболы

Вертикальная асимптота соответствует значению $x$, при котором знаменатель обращается в ноль. Горизонтальная асимптота — это значение, к которому стремится $y$ при $x \to \pm\infty$. Для функции $y = \frac{1}{x} + 4$ вертикальная асимптота — $x=0$, а горизонтальная — $y=4$.

Ответ: вертикальная асимптота: $x=0$; горизонтальная асимптота: $y=4$.

б) Для функции $y = -\frac{4}{x - 3} + 5$

1) область определения функции

Знаменатель дроби $x-3$ не должен равняться нулю, следовательно, $x-3 \neq 0$, что означает $x \neq 3$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2) множество значений функции

Выражение $-\frac{4}{x - 3}$ не может быть равно нулю. Следовательно, вся функция $y = -\frac{4}{x - 3} + 5$ не может принимать значение, равное 5.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$.

3) промежутки монотонности функции

Функция имеет вид $y = \frac{k}{x-a} + b$ с коэффициентом $k=-4$. Поскольку $k < 0$, функция является возрастающей на каждом из промежутков своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 3)$ и $(3; +\infty)$.

4) координаты центра симметрии гиперболы

График функции получен сдвигом графика $y = -\frac{4}{x}$ на 3 единицы вправо и на 5 единиц вверх. Центр симметрии смещается из $(0,0)$ в точку $(3, 5)$.

Ответ: $(3; 5)$.

5) асимптоты гиперболы

Вертикальная асимптота проходит через точку разрыва функции: $x=3$. Горизонтальная асимптота соответствует сдвигу по оси Oy: $y=5$.

Ответ: вертикальная асимптота: $x=3$; горизонтальная асимптота: $y=5$.

в) Для функции $y = -\frac{2}{x - 5}$

1) область определения функции

Знаменатель дроби $x-5$ не должен равняться нулю, следовательно, $x-5 \neq 0$, что означает $x \neq 5$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$.

2) множество значений функции

Данную функцию можно записать как $y = -\frac{2}{x - 5} + 0$. Выражение $-\frac{2}{x - 5}$ не может быть равно нулю. Следовательно, $y$ не может принимать значение, равное 0.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3) промежутки монотонности функции

Коэффициент $k=-2$. Поскольку $k < 0$, функция является возрастающей на каждом из промежутков своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 5)$ и $(5; +\infty)$.

4) координаты центра симметрии гиперболы

График функции получен сдвигом графика $y = -\frac{2}{x}$ на 5 единиц вправо. Центр симметрии смещается из $(0,0)$ в точку $(5, 0)$.

Ответ: $(5; 0)$.

5) асимптоты гиперболы

Вертикальная асимптота: $x=5$. Горизонтальная асимптота: $y=0$ (так как сдвига по оси Oy нет).

Ответ: вертикальная асимптота: $x=5$; горизонтальная асимптота: $y=0$.

г) Для функции $y = \frac{3}{x + 1} - 2$

1) область определения функции

Знаменатель дроби $x+1$ не должен равняться нулю, следовательно, $x+1 \neq 0$, что означает $x \neq -1$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2) множество значений функции

Выражение $\frac{3}{x + 1}$ не может быть равно нулю. Следовательно, вся функция $y = \frac{3}{x + 1} - 2$ не может принимать значение, равное -2.

Ответ: $E(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

3) промежутки монотонности функции

Коэффициент $k=3$. Поскольку $k > 0$, функция является убывающей на каждом из промежутков своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$.

4) координаты центра симметрии гиперболы

График функции получен сдвигом графика $y = \frac{3}{x}$ на 1 единицу влево (так как $x+1 = x-(-1)$) и на 2 единицы вниз. Центр симметрии смещается из $(0,0)$ в точку $(-1, -2)$.

Ответ: $(-1; -2)$.

5) асимптоты гиперболы

Вертикальная асимптота: $x=-1$. Горизонтальная асимптота: $y=-2$.

Ответ: вертикальная асимптота: $x=-1$; горизонтальная асимптота: $y=-2$.