Номер 102, страница 17, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

102. Решите графически уравнение:

a) $|x - 2| - 4 = 0$;

б) $|x + 3| = 5$;

в) $3 - |x + 1| = 0$;

г) $|x - 4| = 3$.

а) $|x - 2| - 4 = 0$

Для графического решения уравнения преобразуем его. Перенесем $-4$ в правую часть:

$|x - 2| = 4$

Теперь решим это уравнение, найдя точки пересечения графиков двух функций: $y = |x - 2|$ и $y = 4$.

1. График функции $y = |x - 2|$ представляет собой график модуля $y = |x|$, смещенный на 2 единицы вправо по оси $Ox$. Вершина этого графика находится в точке $(2, 0)$.

2. График функции $y = 4$ — это горизонтальная прямая, проходящая через значение 4 на оси $Oy$.

Начертив оба графика в одной системе координат, мы найдем абсциссы ($x$) точек их пересечения. Эти абсциссы и будут решениями уравнения. Для нахождения точных значений решим уравнение $|x - 2| = 4$:

Это уравнение распадается на два случая:
1) $x - 2 = 4$; $x = 6$
2) $x - 2 = -4$; $x = -2$

Графики пересекаются в точках с абсциссами $-2$ и $6$.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 6$.

б) $|x + 3| = 5$

Для графического решения этого уравнения необходимо построить графики двух функций: $y = |x + 3|$ и $y = 5$.

1. График функции $y = |x + 3|$ получается из графика $y = |x|$ путем сдвига на 3 единицы влево по оси $Ox$. Вершина графика находится в точке $(-3, 0)$.

2. График функции $y = 5$ — это горизонтальная прямая, проходящая через значение 5 на оси $Oy$.

Решениями уравнения являются абсциссы точек пересечения этих двух графиков. Найдем их, решив уравнение $|x + 3| = 5$:

Раскрываем модуль:
1) $x + 3 = 5$; $x = 2$
2) $x + 3 = -5$; $x = -8$

Абсциссы точек пересечения равны $-8$ и $2$.

Ответ: $x_1 = -8, x_2 = 2$.

в) $3 - |x + 1| = 0$

Сначала преобразуем уравнение к более удобному для построения графиков виду:

$|x + 1| = 3$

Теперь задача сводится к нахождению точек пересечения графиков функций $y = |x + 1|$ и $y = 3$.

1. График функции $y = |x + 1|$ — это график $y = |x|$, смещенный на 1 единицу влево по оси $Ox$. Вершина находится в точке $(-1, 0)$.

2. График функции $y = 3$ — это горизонтальная прямая, проходящая через значение 3 на оси $Oy$.

Абсциссы точек пересечения графиков являются решениями. Найдем их из уравнения $|x + 1| = 3$:

Уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
1) $x + 1 = 3$; $x = 2$
2) $x + 1 = -3$; $x = -4$

Таким образом, решениями являются абсциссы $-4$ и $2$.

Ответ: $x_1 = -4, x_2 = 2$.

г) $|x - 4| = 3$

Чтобы решить это уравнение графически, построим графики двух функций: $y = |x - 4|$ и $y = 3$.

1. График функции $y = |x - 4|$ получается сдвигом графика $y = |x|$ на 4 единицы вправо по оси $Ox$. Его вершина находится в точке $(4, 0)$.

2. График функции $y = 3$ — это горизонтальная прямая, проходящая через $y=3$.

Решения уравнения — это абсциссы точек пересечения этих графиков. Найдем их, решив уравнение $|x - 4| = 3$:

Раскрываем модуль и получаем два случая:
1) $x - 4 = 3$; $x = 7$
2) $x - 4 = -3$; $x = 1$

Абсциссы точек пересечения — $1$ и $7$.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 7$.