Номер 108, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

108. a) $(xy - 6)(\sqrt{x + 4} + y) = 0;$

В) $(2x + y)(x^3 - y - 1) = 0;$

б) $(\sqrt{x^2 - y})(x^2 - 4x + y) = 0;$

Г) $(y - x)(x + 4) = 0.$

а) $(xy - 6)(\sqrt{x + 4} + y) = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $x + 4 \ge 0$, откуда следует $x \ge -4$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений при условии $x \ge -4$:
1) $xy - 6 = 0 \implies y = \frac{6}{x}$. Это уравнение задает гиперболу. Учитывая ОДЗ, решением является часть этой гиперболы, для которой $x \in [-4, 0) \cup (0, +\infty)$.
2) $\sqrt{x + 4} + y = 0 \implies y = -\sqrt{x + 4}$. Это уравнение задает нижнюю ветвь параболы $x = y^2 - 4$ с вершиной в точке $(-4, 0)$. Для всех точек этой кривой условие $x \ge -4$ выполняется.
Искомое множество точек на плоскости является объединением этих двух графиков.
Ответ: Объединение графика функции $y = -\sqrt{x+4}$ и части графика гиперболы $y = \frac{6}{x}$ при $x \in [-4, 0) \cup (0, \infty)$.

б) $(\sqrt{x^2 - y})(x^2 - 4x + y) = 0$

ОДЗ: $x^2 - y \ge 0$, что эквивалентно $y \le x^2$. Это означает, что все решения должны лежать на параболе $y=x^2$ или ниже неё.
Уравнение равносильно совокупности:
1) $\sqrt{x^2 - y} = 0 \implies x^2 - y = 0 \implies y = x^2$. Это парабола с вершиной в начале координат. Все точки этой параболы удовлетворяют условию $y \le x^2$ (в виде равенства), поэтому вся парабола является частью решения.
2) $x^2 - 4x + y = 0 \implies y = -x^2 + 4x$. Это парабола с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(2, 4)$. Решением являются только те точки этой параболы, которые удовлетворяют ОДЗ: $y \le x^2$. Подставим выражение для $y$:
$-x^2 + 4x \le x^2$
$0 \le 2x^2 - 4x$
$0 \le 2x(x - 2)$
Это неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 0] \cup [2, \infty)$.
Искомое множество точек является объединением параболы $y=x^2$ и частей параболы $y=-x^2+4x$ на указанных промежутках.
Ответ: Объединение графика параболы $y=x^2$ и частей графика параболы $y = -x^2 + 4x$ при $x \in (-\infty, 0] \cup [2, \infty)$.

в) $(2x + y)(x^3 - y - 1) = 0$

Так как в уравнении отсутствуют операции, накладывающие ограничения на переменные (деление на ноль, корни), ОДЗ — вся координатная плоскость. Уравнение распадается на совокупность двух уравнений:
1) $2x + y = 0 \implies y = -2x$. Это прямая, проходящая через начало координат.
2) $x^3 - y - 1 = 0 \implies y = x^3 - 1$. Это кубическая парабола, полученная сдвигом графика $y=x^3$ на 1 единицу вниз.
Множество решений — это объединение графиков этих двух функций.
Ответ: Объединение графика прямой $y = -2x$ и графика кубической функции $y = x^3 - 1$.

г) $(y - x)(x + 4) = 0$

Ограничений на область допустимых значений нет. Уравнение распадается на совокупность двух уравнений:
1) $y - x = 0 \implies y = x$. Это прямая, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов.
2) $x + 4 = 0 \implies x = -4$. Это вертикальная прямая, параллельная оси $Oy$ и проходящая через точку $(-4, 0)$.
Множество решений — это объединение этих двух прямых.
Ответ: Объединение прямой $y=x$ и прямой $x=-4$.