Страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Постройте график уравнения:

107. a) $x^2 + y^2 = 1;$

б) $(x - 1)^2 + y^2 = 9;$

в) $x^2 + (y + 2)^2 = 25;$

г) $(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 4.$

а) $x^2 + y^2 = 1$
Общее уравнение окружности имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.
Данное уравнение можно переписать в виде $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 1^2$.
Из этого следует, что центр окружности находится в точке с координатами $(0, 0)$, то есть в начале координат, а её радиус $R = \sqrt{1} = 1$.
Следовательно, графиком этого уравнения является окружность с центром в начале координат и радиусом 1.
Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $O(0, 0)$ и радиусом $R=1$.

б) $(x - 1)^2 + y^2 = 9$
Сравним данное уравнение с общим уравнением окружности $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.
Уравнение можно представить в виде $(x - 1)^2 + (y - 0)^2 = 3^2$.
Координаты центра окружности: $x_0 = 1$ и $y_0 = 0$. Центр находится в точке $C(1, 0)$.
Квадрат радиуса $R^2 = 9$, следовательно, радиус $R = \sqrt{9} = 3$.
Таким образом, графиком является окружность с центром в точке $(1, 0)$ и радиусом 3.
Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $C(1, 0)$ и радиусом $R=3$.

в) $x^2 + (y + 2)^2 = 25$
Сравним данное уравнение с общим уравнением окружности $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.
Уравнение можно представить в виде $(x - 0)^2 + (y - (-2))^2 = 5^2$.
Координаты центра окружности: $x_0 = 0$ и $y_0 = -2$. Центр находится в точке $C(0, -2)$.
Квадрат радиуса $R^2 = 25$, следовательно, радиус $R = \sqrt{25} = 5$.
Таким образом, графиком является окружность с центром в точке $(0, -2)$ и радиусом 5.
Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $C(0, -2)$ и радиусом $R=5$.

г) $(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 4$
Сравним данное уравнение с общим уравнением окружности $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.
Уравнение можно представить в виде $(x - (-3))^2 + (y - 2)^2 = 2^2$.
Координаты центра окружности: $x_0 = -3$ и $y_0 = 2$. Центр находится в точке $C(-3, 2)$.
Квадрат радиуса $R^2 = 4$, следовательно, радиус $R = \sqrt{4} = 2$.
Таким образом, графиком является окружность с центром в точке $(-3, 2)$ и радиусом 2.
Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $C(-3, 2)$ и радиусом $R=2$.

108. a) $(xy - 6)(\sqrt{x + 4} + y) = 0;$

В) $(2x + y)(x^3 - y - 1) = 0;$

б) $(\sqrt{x^2 - y})(x^2 - 4x + y) = 0;$

Г) $(y - x)(x + 4) = 0.$

а) $(xy - 6)(\sqrt{x + 4} + y) = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $x + 4 \ge 0$, откуда следует $x \ge -4$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений при условии $x \ge -4$:
1) $xy - 6 = 0 \implies y = \frac{6}{x}$. Это уравнение задает гиперболу. Учитывая ОДЗ, решением является часть этой гиперболы, для которой $x \in [-4, 0) \cup (0, +\infty)$.
2) $\sqrt{x + 4} + y = 0 \implies y = -\sqrt{x + 4}$. Это уравнение задает нижнюю ветвь параболы $x = y^2 - 4$ с вершиной в точке $(-4, 0)$. Для всех точек этой кривой условие $x \ge -4$ выполняется.
Искомое множество точек на плоскости является объединением этих двух графиков.
Ответ: Объединение графика функции $y = -\sqrt{x+4}$ и части графика гиперболы $y = \frac{6}{x}$ при $x \in [-4, 0) \cup (0, \infty)$.

б) $(\sqrt{x^2 - y})(x^2 - 4x + y) = 0$

ОДЗ: $x^2 - y \ge 0$, что эквивалентно $y \le x^2$. Это означает, что все решения должны лежать на параболе $y=x^2$ или ниже неё.
Уравнение равносильно совокупности:
1) $\sqrt{x^2 - y} = 0 \implies x^2 - y = 0 \implies y = x^2$. Это парабола с вершиной в начале координат. Все точки этой параболы удовлетворяют условию $y \le x^2$ (в виде равенства), поэтому вся парабола является частью решения.
2) $x^2 - 4x + y = 0 \implies y = -x^2 + 4x$. Это парабола с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(2, 4)$. Решением являются только те точки этой параболы, которые удовлетворяют ОДЗ: $y \le x^2$. Подставим выражение для $y$:
$-x^2 + 4x \le x^2$
$0 \le 2x^2 - 4x$
$0 \le 2x(x - 2)$
Это неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 0] \cup [2, \infty)$.
Искомое множество точек является объединением параболы $y=x^2$ и частей параболы $y=-x^2+4x$ на указанных промежутках.
Ответ: Объединение графика параболы $y=x^2$ и частей графика параболы $y = -x^2 + 4x$ при $x \in (-\infty, 0] \cup [2, \infty)$.

в) $(2x + y)(x^3 - y - 1) = 0$

Так как в уравнении отсутствуют операции, накладывающие ограничения на переменные (деление на ноль, корни), ОДЗ — вся координатная плоскость. Уравнение распадается на совокупность двух уравнений:
1) $2x + y = 0 \implies y = -2x$. Это прямая, проходящая через начало координат.
2) $x^3 - y - 1 = 0 \implies y = x^3 - 1$. Это кубическая парабола, полученная сдвигом графика $y=x^3$ на 1 единицу вниз.
Множество решений — это объединение графиков этих двух функций.
Ответ: Объединение графика прямой $y = -2x$ и графика кубической функции $y = x^3 - 1$.

г) $(y - x)(x + 4) = 0$

Ограничений на область допустимых значений нет. Уравнение распадается на совокупность двух уравнений:
1) $y - x = 0 \implies y = x$. Это прямая, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов.
2) $x + 4 = 0 \implies x = -4$. Это вертикальная прямая, параллельная оси $Oy$ и проходящая через точку $(-4, 0)$.
Множество решений — это объединение этих двух прямых.
Ответ: Объединение прямой $y=x$ и прямой $x=-4$.

109. На каждом рисунке ниже на отрезке $[-5; 7]$ изображён график функции $y = f(x)$. В некоторых случаях функция $y = f(x)$ не определена в одной или нескольких точках данного отрезка. Рассмотрите данный график и определите:

1) возрастает ли функция на отрезке $[-5; 7]$;
2) убывает ли функция на отрезке $[-5; 7]$;
3) сколько корней имеет уравнение $f(x) = p$ (значения $p$ указаны на рисунке);
4) промежутки монотонности функции $y = f(x)$;

a) $0 \le p \le 6$

б) $p \in \mathbb{R}$

в) $p \le 7$

г) $p \in \mathbb{R}$

a)

1) возрастает ли функция на отрезке [-5; 7];
Функция называется возрастающей на отрезке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого отрезка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. На данном графике это условие не выполняется для всего отрезка. Например, при $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$, имеем $x_1 < x_2$, но $f(-2) = 5 > f(2) = 0$. Следовательно, функция не является возрастающей на всем отрезке.
Ответ: нет.

2) убывает ли функция на отрезке [-5; 7];
Функция называется убывающей на отрезке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого отрезка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$. На данном графике это условие также не выполняется. Например, при $x_1 = -5$ и $x_2 = -2$, имеем $x_1 < x_2$, но $f(-5) = 2 < f(-2) = 5$. Следовательно, функция не является убывающей на всем отрезке.
Ответ: нет.

3) сколько корней имеет уравнение f(x) = p (значения p указаны на рисунке);
Количество корней уравнения $f(x) = p$ равно количеству точек пересечения графика функции $y = f(x)$ с горизонтальной прямой $y = p$. Проанализируем количество корней для $p \in [0, 6]$:
- при $p \in (5, 6]$: 0 корней (прямая $y=p$ не пересекает график);
- при $p = 5$: 2 корня (прямая касается двух вершин);
- при $p \in (2, 5)$: 4 корня;
- при $p \in (0, 2]$: 3 корня;
- при $p = 0$: 1 корень (прямая касается минимума).
Ответ: 0 корней при $p \in (5, 6]$; 1 корень при $p=0$; 2 корня при $p=5$; 3 корня при $p \in (0, 2]$; 4 корня при $p \in (2, 5)$.

4) промежутки монотонности функции y = f(x);
Промежутки монотонности — это интервалы, на которых функция только возрастает или только убывает.
- Функция возрастает на промежутках: $[-5, -2]$ и $[2, 4]$.
- Функция убывает на промежутках: $[-2, 2]$ и $[4, 7]$.
Ответ: функция возрастает на $[-5, -2]$ и $[2, 4]$; убывает на $[-2, 2]$ и $[4, 7]$.

б)

1) возрастает ли функция на отрезке [-5; 7];
Нет, функция не является возрастающей на всем отрезке, так как она имеет как участки убывания (например, на $[-5, -1)$), так и участки возрастания (на $[4, 7]$). Функция не определена в точке $x=-1$.
Ответ: нет.

2) убывает ли функция на отрезке [-5; 7];
Нет, функция не является убывающей на всем отрезке по той же причине.
Ответ: нет.

3) сколько корней имеет уравнение f(x) = p (значения p указаны на рисунке);
Проанализируем количество корней для $p \in \mathbb{R}$:
- при $p > 1$: 1 корень;
- при $p = 1$: 2 корня;
- при $p \in (-3, 1)$: 3 корня;
- при $p = -3$: 2 корня (прямая касается минимума);
- при $p < -3$: 1 корень.
Ответ: 1 корень при $p \in (-\infty, -3) \cup (1, \infty)$; 2 корня при $p = -3$ и $p=1$; 3 корня при $p \in (-3, 1)$.

4) промежутки монотонности функции y = f(x);

- Функция возрастает на промежутке: $[4, 7]$.
- Функция убывает на промежутках: $[-5, -1)$ и $(-1, 4]$.
Ответ: функция возрастает на $[4, 7]$; убывает на $[-5, -1)$ и $(-1, 4]$.

в)

1) возрастает ли функция на отрезке [-5; 7];
Нет, функция не является монотонно возрастающей, так как на графике есть участки убывания (например, на $[-5, -2]$).
Ответ: нет.

2) убывает ли функция на отрезке [-5; 7];
Нет, функция не является монотонно убывающей, так как на графике есть участки возрастания (например, на $[-2, 1]$).
Ответ: нет.

3) сколько корней имеет уравнение f(x) = p (значения p указаны на рисунке);
Проанализируем количество корней для $p \le 7$:
- при $p \in (6, 7]$: 0 корней;
- при $p = 6$: 1 корень;
- при $p \in (2, 6)$: 1 корень;
- при $p = 2$: 2 корня;
- при $p \in (-1, 2)$: 3 корня;
- при $p = -1$: 3 корня;
- при $p \in (-2, -1)$: 4 корня;
- при $p = -2$: 3 корня;
- при $p \in (-4, -2)$: 2 корня;
- при $p = -4$: 1 корень;
- при $p < -4$: 0 корней.
Ответ: 0 корней при $p \in (-\infty, -4) \cup (6, 7]$; 1 корень при $p=-4, p=6$ и $p \in (2,6)$; 2 корня при $p=2$ и $p \in (-4,-2)$; 3 корня при $p=-2, p=-1$ и $p \in (-1,2)$; 4 корня при $p \in (-2,-1)$.

4) промежутки монотонности функции y = f(x);

- Функция возрастает на промежутках: $[-2, 1]$ и $[5, 7]$.
- Функция убывает на промежутках: $[-5, -2]$ и $[1, 5]$.
Ответ: функция возрастает на $[-2, 1]$ и $[5, 7]$; убывает на $[-5, -2]$ и $[1, 5]$.

г)

1) возрастает ли функция на отрезке [-5; 7];
Нет, функция не является возрастающей на всем отрезке. Например, на промежутке $[-1, 0)$ она убывает. Функция не определена в точках $x=-4, x=0, x=2$.
Ответ: нет.

2) убывает ли функция на отрезке [-5; 7];
Нет, функция не является убывающей на всем отрезке. Например, на промежутке $[-5, -1]$ она возрастает.
Ответ: нет.

3) сколько корней имеет уравнение f(x) = p (значения p указаны на рисунке);
Проанализируем количество корней для $p \in \mathbb{R}$:
- при $p > 3$: 0 корней;
- при $p = 3$: 1 корень;
- при $p \in (2, 3)$: 2 корня;
- при $p = 2$: 3 корня;
- при $p \in (1, 2)$: 3 корня;
- при $p = 1$: 2 корня (в точке $x=2$ разрыв);
- при $p \in (-2, 1)$: 3 корня;
- при $p = -2$: 2 корня (в точке $x=-4$ разрыв);
- при $p \in (-3, -2)$: 3 корня;
- при $p = -3$: 3 корня;
- при $p < -3$: 2 корня.
Ответ: 0 корней при $p>3$; 1 корень при $p=3$; 2 корня при $p \in (-\infty, -3) \cup \{-2, 1\} \cup (2, 3)$; 3 корня при $p \in [-3, -2) \cup (-2, 1) \cup (1, 2]$.

4) промежутки монотонности функции y = f(x);

- Функция возрастает на промежутках: $[-5, -1]$ (несмотря на разрыв в $x=-4$) и $(0, 7]$ (несмотря на разрыв в $x=2$).
- Функция убывает на промежутке: $[-1, 0)$.
Ответ: функция возрастает на $[-5, -1]$ и $(0, 7]$; убывает на $[-1, 0)$.