Номер 109, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

109. На каждом рисунке ниже на отрезке $[-5; 7]$ изображён график функции $y = f(x)$. В некоторых случаях функция $y = f(x)$ не определена в одной или нескольких точках данного отрезка. Рассмотрите данный график и определите:

1) возрастает ли функция на отрезке $[-5; 7]$;
2) убывает ли функция на отрезке $[-5; 7]$;
3) сколько корней имеет уравнение $f(x) = p$ (значения $p$ указаны на рисунке);
4) промежутки монотонности функции $y = f(x)$;

a) $0 \le p \le 6$

б) $p \in \mathbb{R}$

в) $p \le 7$

г) $p \in \mathbb{R}$

a)

1) возрастает ли функция на отрезке [-5; 7];
Функция называется возрастающей на отрезке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого отрезка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. На данном графике это условие не выполняется для всего отрезка. Например, при $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$, имеем $x_1 < x_2$, но $f(-2) = 5 > f(2) = 0$. Следовательно, функция не является возрастающей на всем отрезке.
Ответ: нет.

2) убывает ли функция на отрезке [-5; 7];
Функция называется убывающей на отрезке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого отрезка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$. На данном графике это условие также не выполняется. Например, при $x_1 = -5$ и $x_2 = -2$, имеем $x_1 < x_2$, но $f(-5) = 2 < f(-2) = 5$. Следовательно, функция не является убывающей на всем отрезке.
Ответ: нет.

3) сколько корней имеет уравнение f(x) = p (значения p указаны на рисунке);
Количество корней уравнения $f(x) = p$ равно количеству точек пересечения графика функции $y = f(x)$ с горизонтальной прямой $y = p$. Проанализируем количество корней для $p \in [0, 6]$:
- при $p \in (5, 6]$: 0 корней (прямая $y=p$ не пересекает график);
- при $p = 5$: 2 корня (прямая касается двух вершин);
- при $p \in (2, 5)$: 4 корня;
- при $p \in (0, 2]$: 3 корня;
- при $p = 0$: 1 корень (прямая касается минимума).
Ответ: 0 корней при $p \in (5, 6]$; 1 корень при $p=0$; 2 корня при $p=5$; 3 корня при $p \in (0, 2]$; 4 корня при $p \in (2, 5)$.

4) промежутки монотонности функции y = f(x);
Промежутки монотонности — это интервалы, на которых функция только возрастает или только убывает.
- Функция возрастает на промежутках: $[-5, -2]$ и $[2, 4]$.
- Функция убывает на промежутках: $[-2, 2]$ и $[4, 7]$.
Ответ: функция возрастает на $[-5, -2]$ и $[2, 4]$; убывает на $[-2, 2]$ и $[4, 7]$.

б)

1) возрастает ли функция на отрезке [-5; 7];
Нет, функция не является возрастающей на всем отрезке, так как она имеет как участки убывания (например, на $[-5, -1)$), так и участки возрастания (на $[4, 7]$). Функция не определена в точке $x=-1$.
Ответ: нет.

2) убывает ли функция на отрезке [-5; 7];
Нет, функция не является убывающей на всем отрезке по той же причине.
Ответ: нет.

3) сколько корней имеет уравнение f(x) = p (значения p указаны на рисунке);
Проанализируем количество корней для $p \in \mathbb{R}$:
- при $p > 1$: 1 корень;
- при $p = 1$: 2 корня;
- при $p \in (-3, 1)$: 3 корня;
- при $p = -3$: 2 корня (прямая касается минимума);
- при $p < -3$: 1 корень.
Ответ: 1 корень при $p \in (-\infty, -3) \cup (1, \infty)$; 2 корня при $p = -3$ и $p=1$; 3 корня при $p \in (-3, 1)$.

4) промежутки монотонности функции y = f(x);

- Функция возрастает на промежутке: $[4, 7]$.
- Функция убывает на промежутках: $[-5, -1)$ и $(-1, 4]$.
Ответ: функция возрастает на $[4, 7]$; убывает на $[-5, -1)$ и $(-1, 4]$.

в)

1) возрастает ли функция на отрезке [-5; 7];
Нет, функция не является монотонно возрастающей, так как на графике есть участки убывания (например, на $[-5, -2]$).
Ответ: нет.

2) убывает ли функция на отрезке [-5; 7];
Нет, функция не является монотонно убывающей, так как на графике есть участки возрастания (например, на $[-2, 1]$).
Ответ: нет.

3) сколько корней имеет уравнение f(x) = p (значения p указаны на рисунке);
Проанализируем количество корней для $p \le 7$:
- при $p \in (6, 7]$: 0 корней;
- при $p = 6$: 1 корень;
- при $p \in (2, 6)$: 1 корень;
- при $p = 2$: 2 корня;
- при $p \in (-1, 2)$: 3 корня;
- при $p = -1$: 3 корня;
- при $p \in (-2, -1)$: 4 корня;
- при $p = -2$: 3 корня;
- при $p \in (-4, -2)$: 2 корня;
- при $p = -4$: 1 корень;
- при $p < -4$: 0 корней.
Ответ: 0 корней при $p \in (-\infty, -4) \cup (6, 7]$; 1 корень при $p=-4, p=6$ и $p \in (2,6)$; 2 корня при $p=2$ и $p \in (-4,-2)$; 3 корня при $p=-2, p=-1$ и $p \in (-1,2)$; 4 корня при $p \in (-2,-1)$.

4) промежутки монотонности функции y = f(x);

- Функция возрастает на промежутках: $[-2, 1]$ и $[5, 7]$.
- Функция убывает на промежутках: $[-5, -2]$ и $[1, 5]$.
Ответ: функция возрастает на $[-2, 1]$ и $[5, 7]$; убывает на $[-5, -2]$ и $[1, 5]$.

г)

1) возрастает ли функция на отрезке [-5; 7];
Нет, функция не является возрастающей на всем отрезке. Например, на промежутке $[-1, 0)$ она убывает. Функция не определена в точках $x=-4, x=0, x=2$.
Ответ: нет.

2) убывает ли функция на отрезке [-5; 7];
Нет, функция не является убывающей на всем отрезке. Например, на промежутке $[-5, -1]$ она возрастает.
Ответ: нет.

3) сколько корней имеет уравнение f(x) = p (значения p указаны на рисунке);
Проанализируем количество корней для $p \in \mathbb{R}$:
- при $p > 3$: 0 корней;
- при $p = 3$: 1 корень;
- при $p \in (2, 3)$: 2 корня;
- при $p = 2$: 3 корня;
- при $p \in (1, 2)$: 3 корня;
- при $p = 1$: 2 корня (в точке $x=2$ разрыв);
- при $p \in (-2, 1)$: 3 корня;
- при $p = -2$: 2 корня (в точке $x=-4$ разрыв);
- при $p \in (-3, -2)$: 3 корня;
- при $p = -3$: 3 корня;
- при $p < -3$: 2 корня.
Ответ: 0 корней при $p>3$; 1 корень при $p=3$; 2 корня при $p \in (-\infty, -3) \cup \{-2, 1\} \cup (2, 3)$; 3 корня при $p \in [-3, -2) \cup (-2, 1) \cup (1, 2]$.

4) промежутки монотонности функции y = f(x);

- Функция возрастает на промежутках: $[-5, -1]$ (несмотря на разрыв в $x=-4$) и $(0, 7]$ (несмотря на разрыв в $x=2$).
- Функция убывает на промежутке: $[-1, 0)$.
Ответ: функция возрастает на $[-5, -1]$ и $(0, 7]$; убывает на $[-1, 0)$.