Номер 105, страница 17, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

105. a) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2 - 5x + 6$. При каком значении $x$ выполняется равенство $f(x + 1) = f(x - 3)$?

б) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \frac{1}{x}$. При каком значении $x$ выполняется равенство $f(x^2 - 1) = f(3x^2 - 3x)$?

а)

Дана функция $f(x) = x^2 - 5x + 6$. Требуется найти значение $x$, при котором выполняется равенство $f(x + 1) = f(x - 3)$.

Для этого сначала найдем выражения для $f(x + 1)$ и $f(x - 3)$, подставив соответствующие аргументы в определение функции.

1. Вычислим $f(x + 1)$:

$f(x + 1) = (x + 1)^2 - 5(x + 1) + 6$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$f(x + 1) = (x^2 + 2x + 1) - (5x + 5) + 6 = x^2 + 2x + 1 - 5x - 5 + 6 = x^2 - 3x + 2$

2. Вычислим $f(x - 3)$:

$f(x - 3) = (x - 3)^2 - 5(x - 3) + 6$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$f(x - 3) = (x^2 - 6x + 9) - (5x - 15) + 6 = x^2 - 6x + 9 - 5x + 15 + 6 = x^2 - 11x + 30$

3. Теперь приравняем полученные выражения и решим уравнение относительно $x$:

$f(x + 1) = f(x - 3)$

$x^2 - 3x + 2 = x^2 - 11x + 30$

Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:

$-3x + 2 = -11x + 30$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$-3x + 11x = 30 - 2$

$8x = 28$

$x = \frac{28}{8} = \frac{7}{2} = 3.5$

Ответ: $x = 3.5$.

б)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{x}$. Требуется найти значение $x$, при котором выполняется равенство $f(x^2 - 1) = f(3x^2 - 3x)$.

Подставим аргументы в определение функции. Равенство примет вид:

$\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{3x^2 - 3x}$

Это равенство выполняется, если знаменатели дробей равны и не обращаются в ноль. Приравняем знаменатели:

$x^2 - 1 = 3x^2 - 3x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3x^2 - x^2 - 3x + 1 = 0$

$2x^2 - 3x + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Теперь необходимо выполнить проверку, так как исходное равенство содержит переменные в знаменателе. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями:

1. $x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow (x - 1)(x + 1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$ и $x \neq -1$.

2. $3x^2 - 3x \neq 0 \Rightarrow 3x(x - 1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ и $x \neq 1$.

Объединяя условия, получаем, что $x$ не может быть равен $-1$, $0$ и $1$.

Проверим найденные корни:

— Корень $x_1 = 1$ не является решением, так как он не входит в ОДЗ (при $x=1$ знаменатели обращаются в ноль).

— Корень $x_2 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет всем условиям ОДЗ.

Следовательно, единственным решением является $x = \frac{1}{2}$.

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.