Номер 111, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

111. Укажите последовательность чисел, которая является геометрической прогрессией.

1) 2; 3; 5; 8; ...

2) 2; -2; -6; -10; ...

3) 16; 8; 4; 2; ...

4) 2; -1; 10; -7; 18; ...

Геометрической прогрессией называется такая числовая последовательность $b_1, b_2, b_3, \dots$, в которой каждый последующий член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же постоянное число $q$, называемое знаменателем прогрессии. То есть, для всех натуральных $n$ должно выполняться равенство $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$. Проверим предложенные последовательности на соответствие этому определению.

1) 2; 3; 5; 8; ...Для данной последовательности отношение второго члена к первому равно $\frac{3}{2} = 1.5$, а отношение третьего члена ко второму равно $\frac{5}{3}$. Поскольку $1.5 \neq \frac{5}{3}$, отношение не является постоянным. Следовательно, эта последовательность не является геометрической прогрессией.Ответ: не является геометрической прогрессией.

2) 2; -2; -6; -10; ...В этой последовательности отношение второго члена к первому составляет $\frac{-2}{2} = -1$, а отношение третьего члена ко второму — $\frac{-6}{-2} = 3$. Так как $-1 \neq 3$, отношение не является постоянной величиной. Следовательно, это не геометрическая прогрессия.Ответ: не является геометрической прогрессией.

3) 16; 8; 4; 2; ...Проверим отношения последовательных членов этой последовательности. Отношение второго члена к первому: $\frac{8}{16} = \frac{1}{2}$. Отношение третьего члена ко второму: $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$. Отношение четвертого члена к третьему: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Отношение постоянно и равно $q = \frac{1}{2}$. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией.Ответ: является геометрической прогрессией.

4) 2; -1; 10; -7; 18; ...Для этой последовательности отношение второго члена к первому равно $\frac{-1}{2} = -0.5$, а отношение третьего члена ко второму равно $\frac{10}{-1} = -10$. Поскольку $-0.5 \neq -10$, отношение не является постоянным. Значит, это не геометрическая прогрессия.Ответ: не является геометрической прогрессией.

Проанализировав все варианты, мы заключаем, что только последовательность под номером 3 является геометрической прогрессией.