Номер 104, страница 17, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

104. Постройте график функции $y = f(x)$ и опишите её свойства, если:

a) $f(x) = \begin{cases} x^2 + 2, \text{ если } 1 \le x \le 2 \\ \frac{6}{x}, \text{ если } 2 < x \le 6; \end{cases}$

б) $f(x) = \begin{cases} -\frac{4}{x + 1}, \text{ если } x < -1 \\ -3x^2 + 3, \text{ если } -1 \le x \le 2. \end{cases}$

а)

Функция задана кусочно: $f(x) = \begin{cases} x^2 + 2, & \text{если } 1 \le x \le 2 \\ \frac{6}{x}, & \text{если } 2 < x \le 6 \end{cases}$.

Построение графика:
1. На отрезке $[1, 2]$ строим график функции $y = x^2 + 2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 2)$. Вычислим значения функции на концах отрезка: $f(1) = 1^2 + 2 = 3$. Конечная точка — $(1, 3)$. $f(2) = 2^2 + 2 = 6$. Конечная точка — $(2, 6)$. Обе точки принадлежат графику.
2. На полуинтервале $(2, 6]$ строим график функции $y = 6/x$. Это часть гиперболы, расположенная в первой координатной четверти. Вычислим значения на границах промежутка: При $x \to 2^+$, $y \to 6/2 = 3$. Граничная точка — $(2, 3)$ (выколотая, так как $x > 2$). При $x = 6$, $y = 6/6 = 1$. Конечная точка — $(6, 1)$. Точка $(6, 1)$ принадлежит графику.

Проанализировав график и определение функции, опишем её свойства.

Ответ:
График функции состоит из дуги параболы $y = x^2 + 2$ от точки $(1, 3)$ до $(2, 6)$ включительно и ветви гиперболы $y = 6/x$ от выколотой точки $(2, 3)$ до точки $(6, 1)$ включительно.
Свойства функции:
1. Область определения: $D(f) = [1, 6]$.
2. Область значений: $E(f) = [1, 6]$.
3. Четность: Функция ни четная, ни нечетная (функция общего вида), так как ее область определения несимметрична относительно начала координат.
4. Нули функции: Нулей нет.
5. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ на всей области определения $[1, 6]$.
6. Промежутки монотонности: Функция возрастает на отрезке $[1, 2]$ и убывает на полуинтервале $(2, 6]$.
7. Непрерывность и точки разрыва: Функция непрерывна на промежутках $[1, 2]$ и $(2, 6]$. В точке $x=2$ она терпит разрыв первого рода (скачок), так как $\lim_{x\to 2-} f(x) = 6$, а $\lim_{x\to 2+} f(x) = 3$.
8. Экстремумы и наибольшее/наименьшее значения: Наибольшее значение функции $y_{наиб} = 6$ достигается при $x=2$. Наименьшее значение функции $y_{наим} = 1$ достигается при $x=6$.

б)

Функция задана кусочно: $f(x) = \begin{cases} -\frac{4}{x+1}, & \text{если } x < -1 \\ -3x^2 + 3, & \text{если } -1 \le x \le 2 \end{cases}$.

Построение графика:
1. На интервале $(-\infty, -1)$ строим график функции $y = -\frac{4}{x+1}$. Это ветвь гиперболы, смещенной на 1 влево по оси Ox. Прямая $x = -1$ является вертикальной асимптотой. При $x \to -1^-$ (слева), $y \to +\infty$. Прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$.
2. На отрезке $[-1, 2]$ строим график функции $y = -3x^2 + 3$. Это часть параболы, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0, 3)$. Вычислим значения функции на концах отрезка: $f(-1) = -3(-1)^2 + 3 = 0$. Конечная точка — $(-1, 0)$. $f(2) = -3(2)^2 + 3 = -12 + 3 = -9$. Конечная точка — $(2, -9)$. Обе точки принадлежат графику.

Проанализировав график и определение функции, опишем её свойства.

Ответ:
График функции состоит из ветви гиперболы $y = -4/(x+1)$ на интервале $(-\infty, -1)$ с вертикальной асимптотой $x=-1$, и дуги параболы $y = -3x^2 + 3$ на отрезке $[-1, 2]$ с вершиной в $(0, 3)$ и концами в точках $(-1, 0)$ и $(2, -9)$.
Свойства функции:
1. Область определения: $D(f) = (-\infty, 2]$.
2. Область значений: $E(f) = [-9, +\infty)$.
3. Четность: Функция ни четная, ни нечетная (функция общего вида), так как ее область определения несимметрична относительно начала координат.
4. Нули функции: $x = -1$ и $x = 1$.
5. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 1)$; $f(x) < 0$ при $x \in (1, 2]$.
6. Промежутки монотонности: Функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1)$ и $[-1, 0]$; убывает на отрезке $[0, 2]$.
7. Непрерывность и точки разрыва: Функция непрерывна на промежутках $(-\infty, -1)$ и $[-1, 2]$. В точке $x=-1$ она терпит разрыв второго рода (бесконечный разрыв), так как $\lim_{x\to -1-} f(x) = +\infty$.
8. Экстремумы и наибольшее/наименьшее значения: Наибольшего значения функция не имеет. Наименьшее значение функции $y_{наим} = -9$ достигается при $x=2$. Точка локального максимума — $(0, 3)$.