Номер 98, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

98. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

а) $y = \sqrt{x}$ на луче $[4; +\infty)$;

б) $y = -\sqrt{x} + 2$ на отрезке $[0; 3];

в) $y = -\sqrt{x} + 4$ на полуинтервале $(0; 4];

г) $y = \sqrt{x - 3} + 1$ на отрезке $[6; 9].

а)

Функция $y = \sqrt{x}$ является строго возрастающей на всей своей области определения $[0; +\infty)$, а значит, и на луче $[4; +\infty)$.

Это означает, что чем больше значение аргумента $x$, тем больше значение функции $y$.

Следовательно, наименьшее значение функция принимает в начальной точке луча, то есть при наименьшем возможном значении $x$, которое равно 4.

$y_{наим} = y(4) = \sqrt{4} = 2$.

Поскольку аргумент $x$ может неограниченно возрастать ($x \to +\infty$), значение функции $y = \sqrt{x}$ также будет неограниченно возрастать. Таким образом, функция не ограничена сверху на данном луче, и наибольшего значения у нее не существует.

Ответ: наименьшее значение равно 2, наибольшего значения не существует.

б)

Рассмотрим функцию $y = -\sqrt{x} + 2$. Базовая функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей. Умножение на -1 меняет монотонность на противоположную, поэтому функция $y = -\sqrt{x}$ является убывающей. Прибавление константы 2 сдвигает график вверх, но не влияет на монотонность. Таким образом, функция $y = -\sqrt{x} + 2$ является убывающей на всей своей области определения $[0; +\infty)$, и в частности на отрезке $[0; 3]$.

Для убывающей функции на отрезке наибольшее значение достигается в левой границе отрезка, а наименьшее — в правой.

Наибольшее значение (при $x=0$):

$y_{наиб} = y(0) = -\sqrt{0} + 2 = 0 + 2 = 2$.

Наименьшее значение (при $x=3$):

$y_{наим} = y(3) = -\sqrt{3} + 2 = 2 - \sqrt{3}$.

Ответ: наибольшее значение равно 2, наименьшее значение равно $2 - \sqrt{3}$.

в)

Функция $y = -\sqrt{x} + 4$, аналогично предыдущему пункту, является убывающей на своей области определения $[0; +\infty)$, а значит и на полуинтервале $(0; 4]$.

Так как функция убывает, свое наименьшее значение она примет в самой правой точке промежутка, где $x$ максимально. Эта точка $x=4$ входит в полуинтервал.

$y_{наим} = y(4) = -\sqrt{4} + 4 = -2 + 4 = 2$.

Наибольшее значение функция должна была бы принять в самой левой точке, но точка $x=0$ не принадлежит полуинтервалу $(0; 4]$. Когда $x$ приближается к 0 справа ($x \to 0^+$), значение функции $y$ приближается к $y(0) = -\sqrt{0} + 4 = 4$. Однако это значение никогда не достигается. Для любого значения функции, меньшего 4, можно найти такое $x > 0$, при котором значение функции будет еще ближе к 4. Следовательно, наибольшего значения на данном полуинтервале не существует (хотя верхняя грань значений равна 4).

Ответ: наименьшее значение равно 2, наибольшего значения не существует.

г)

Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x-3} + 1$. Она получена из базовой возрастающей функции $y = \sqrt{x}$ путем сдвига на 3 единицы вправо и на 1 единицу вверх. Эти преобразования не меняют монотонность функции. Таким образом, функция $y = \sqrt{x-3} + 1$ является возрастающей на всей своей области определения $[3; +\infty)$.

Отрезок $[6; 9]$ полностью входит в область определения, и на нем функция также является возрастающей.

Для возрастающей функции на отрезке наименьшее значение достигается в левой границе отрезка, а наибольшее — в правой.

Наименьшее значение (при $x=6$):

$y_{наим} = y(6) = \sqrt{6-3} + 1 = \sqrt{3} + 1$.

Наибольшее значение (при $x=9$):

$y_{наиб} = y(9) = \sqrt{9-3} + 1 = \sqrt{6} + 1$.

Ответ: наименьшее значение равно $\sqrt{3} + 1$, наибольшее значение равно $\sqrt{6} + 1$.