Номер 92, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

92. Квадратичная функция задана уравнением:

а) $y = 12 - 3x^2$;

б) $y = 0,5(x - 2)^2$;

в) $y = -(x - 1)^2 + 4$;

г) $y = 2x^2 - 4x + 5$.

Не выполняя построения графика, определите:

1) координаты вершины параболы;

2) ось симметрии параболы;

3) промежутки возрастания и убывания функции;

4) наибольшее либо наименьшее значение функции;

5) множество значений функции.

а) $y = 12 - 3x^2$

Данную функцию можно представить в виде $y = -3x^2 + 12$. Это частный случай квадратичной функции, записанной в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$, где $a = -3$, $h = 0$ и $k = 12$.

1) координаты вершины параболы

Координаты вершины параболы для функции в виде $y = a(x - h)^2 + k$ равны $(h, k)$. В нашем случае это $(0, 12)$.

Ответ: $(0, 12)$

2) ось симметрии параболы

Осью симметрии является вертикальная прямая, проходящая через вершину параболы, и ее уравнение $x = h$.

Ответ: $x = 0$

3) промежутки возрастания и убывания функции

Так как коэффициент $a = -3 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Функция возрастает на промежутке до вершины и убывает после нее.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, \infty)$.

4) наибольшее либо наименьшее значение функции

Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение в точке вершины. Это значение равно ординате вершины $k$.

Ответ: наибольшее значение функции $y_{max} = 12$.

5) множество значений функции

Множество значений функции (область значений) для параболы с ветвями, направленными вниз, представляет собой промежуток от минус бесконечности до наибольшего значения функции.

Ответ: $E(y) = (-\infty, 12]$

б) $y = 0,5(x - 2)^2$

Функция уже представлена в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$, где $a = 0,5$, $h = 2$ и $k = 0$.

1) координаты вершины параболы

Координаты вершины параболы равны $(h, k)$.

Ответ: $(2, 0)$

2) ось симметрии параболы

Уравнение оси симметрии $x = h$.

Ответ: $x = 2$

3) промежутки возрастания и убывания функции

Так как коэффициент $a = 0,5 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция убывает на промежутке до вершины и возрастает после нее.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 2]$ и возрастает на промежутке $[2, \infty)$.

4) наибольшее либо наименьшее значение функции

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в точке вершины. Это значение равно ординате вершины $k$.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = 0$.

5) множество значений функции

Множество значений функции для параболы с ветвями, направленными вверх, представляет собой промежуток от наименьшего значения до плюс бесконечности.

Ответ: $E(y) = [0, \infty)$

в) $y = -(x - 1)^2 + 4$

Функция представлена в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$, где $a = -1$, $h = 1$ и $k = 4$.

1) координаты вершины параболы

Координаты вершины параболы равны $(h, k)$.

Ответ: $(1, 4)$

2) ось симметрии параболы

Уравнение оси симметрии $x = h$.

Ответ: $x = 1$

3) промежутки возрастания и убывания функции

Так как коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Функция возрастает на промежутке до вершины и убывает после нее.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$ и убывает на промежутке $[1, \infty)$.

4) наибольшее либо наименьшее значение функции

Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение в точке вершины. Это значение равно ординате вершины $k$.

Ответ: наибольшее значение функции $y_{max} = 4$.

5) множество значений функции

Множество значений функции для параболы с ветвями, направленными вниз, представляет собой промежуток от минус бесконечности до наибольшего значения.

Ответ: $E(y) = (-\infty, 4]$

г) $y = 2x^2 - 4x + 5$

Функция задана в стандартном виде $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 2$, $b = -4$ и $c = 5$.

1) координаты вершины параболы

Найдем координаты вершины $(x_0, y_0)$. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.
Ординату вершины найдем, подставив $x_0$ в уравнение функции:
$y_0 = 2(1)^2 - 4(1) + 5 = 2 - 4 + 5 = 3$.

Ответ: $(1, 3)$

2) ось симметрии параболы

Уравнение оси симметрии $x = x_0$.

Ответ: $x = 1$

3) промежутки возрастания и убывания функции

Так как коэффициент $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция убывает на промежутке до вершины и возрастает после нее.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 1]$ и возрастает на промежутке $[1, \infty)$.

4) наибольшее либо наименьшее значение функции

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в точке вершины. Это значение равно ординате вершины $y_0$.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = 3$.

5) множество значений функции

Множество значений функции для параболы с ветвями, направленными вверх, представляет собой промежуток от наименьшего значения до плюс бесконечности.

Ответ: $E(y) = [3, \infty)$