Номер 96, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

96. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на указанном промежутке:

а) $y = -\frac{6}{x}$ на луче $[1; +\infty)$;

б) $y = \frac{4}{x+1}$ на отрезке $[0; 3]$;

в) $y = \frac{8}{x} - 2$ на отрезке $[-4; -1]$;

г) $y = -\frac{4}{x-3} + 1$ на полуинтервале $(3; 7]$

а) Дана функция $y = -\frac{6}{x}$ на луче $[1; +\infty)$.

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения, исследуем функцию на монотонность. Для этого найдем её производную:

$y' = (-\frac{6}{x})' = -6 \cdot (x^{-1})' = -6 \cdot (-1) \cdot x^{-2} = \frac{6}{x^2}$.

На промежутке $[1; +\infty)$ значение $x^2$ всегда положительно, следовательно, производная $y' = \frac{6}{x^2} > 0$. Это означает, что функция является возрастающей на всем указанном луче.

Поскольку функция возрастает, свое наименьшее значение она принимает в левой границе промежутка, то есть при $x=1$:

$y_{наим} = y(1) = -\frac{6}{1} = -6$.

Так как $x$ может неограниченно возрастать ($x \to +\infty$), значение функции будет приближаться к 0, но никогда его не достигнет: $\lim_{x \to +\infty} (-\frac{6}{x}) = 0$. Следовательно, наибольшего значения у функции на данном луче не существует.

Ответ: наименьшее значение функции равно -6, наибольшего значения не существует.

б) Дана функция $y = \frac{4}{x+1}$ на отрезке $[0; 3]$.

Функция определена и непрерывна на всем отрезке $[0; 3]$. Для нахождения наименьшего и наибольшего значений исследуем её на монотонность с помощью производной:

$y' = (\frac{4}{x+1})' = 4 \cdot ((x+1)^{-1})' = 4 \cdot (-1) \cdot (x+1)^{-2} \cdot (x+1)' = -\frac{4}{(x+1)^2}$.

На отрезке $[0; 3]$ выражение $(x+1)^2$ всегда положительно, значит, производная $y' = -\frac{4}{(x+1)^2} < 0$. Следовательно, функция является убывающей на всем отрезке.

Для убывающей функции на отрезке наибольшее значение достигается в его левой границе, а наименьшее — в правой.

Наибольшее значение при $x=0$:

$y_{наиб} = y(0) = \frac{4}{0+1} = 4$.

Наименьшее значение при $x=3$:

$y_{наим} = y(3) = \frac{4}{3+1} = \frac{4}{4} = 1$.

Ответ: наименьшее значение функции равно 1, наибольшее значение равно 4.

в) Дана функция $y = \frac{8}{x} - 2$ на отрезке $[-4; -1]$.

Функция определена и непрерывна на всем отрезке $[-4; -1]$. Найдем её производную для анализа монотонности:

$y' = (\frac{8}{x} - 2)' = (8x^{-1})' - (2)' = 8 \cdot (-1) \cdot x^{-2} - 0 = -\frac{8}{x^2}$.

На отрезке $[-4; -1]$ значение $x^2$ всегда положительно. Поэтому производная $y' = -\frac{8}{x^2} < 0$. Это означает, что функция является убывающей на всем указанном отрезке.

Так как функция убывает, свое наибольшее значение она принимает в левой границе отрезка, а наименьшее — в правой.

Наибольшее значение при $x=-4$:

$y_{наиб} = y(-4) = \frac{8}{-4} - 2 = -2 - 2 = -4$.

Наименьшее значение при $x=-1$:

$y_{наим} = y(-1) = \frac{8}{-1} - 2 = -8 - 2 = -10$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -10, наибольшее значение равно -4.

г) Дана функция $y = -\frac{4}{x-3} + 1$ на полуинтервале $(3; 7]$.

Точка $x=3$ является вертикальной асимптотой функции и не входит в заданный промежуток. На всем полуинтервале $(3; 7]$ функция непрерывна. Найдем её производную:

$y' = (-\frac{4}{x-3} + 1)' = (-4(x-3)^{-1})' + (1)' = -4 \cdot (-1) \cdot (x-3)^{-2} \cdot (x-3)' + 0 = \frac{4}{(x-3)^2}$.

На полуинтервале $(3; 7]$ выражение $(x-3)^2$ всегда положительно, значит, производная $y' = \frac{4}{(x-3)^2} > 0$. Следовательно, функция является возрастающей на всем указанном промежутке.

Поскольку функция возрастает, свое наибольшее значение она достигает в правом, включенном в промежуток, конце, то есть при $x=7$:

$y_{наиб} = y(7) = -\frac{4}{7-3} + 1 = -\frac{4}{4} + 1 = -1 + 1 = 0$.

Наименьшее значение функция должна была бы принять на левой границе, но точка $x=3$ не входит в промежуток. Найдем предел функции при приближении к $x=3$ справа:

$\lim_{x \to 3^+} (-\frac{4}{x-3} + 1) = -\infty$.

Так как функция стремится к минус бесконечности, она не ограничена снизу, и наименьшего значения на данном полуинтервале не существует.

Ответ: наибольшее значение функции равно 0, наименьшего значения не существует.