Номер 100, страница 17, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

100. Постройте график функции:

а) $y = |x|$;

б) $y = |x - 3| + 1$;

в) $y = -|x - 2|$;

г) $y = 2 - |x|$.

а) $y = |x|$

Для построения графика функции $y = |x|$ воспользуемся определением модуля. Модуль числа $x$ равен самому числу, если оно неотрицательное, и противоположенному числу, если оно отрицательное.

Таким образом, функцию можно представить в виде системы:

$y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График состоит из двух частей:

1. Для $x \ge 0$ строим график линейной функции $y = x$. Это прямая, являющаяся биссектрисой первого координатного угла. Возьмем точки: (0, 0), (1, 1), (2, 2).
2. Для $x < 0$ строим график линейной функции $y = -x$. Это прямая, являющаяся биссектрисой второго координатного угла. Возьмем точки: (-1, 1), (-2, 2).

Соединив эти две части, мы получаем график, который представляет собой V-образную кривую ("галочку") с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх.

Ответ: График функции представляет собой "галочку" с вершиной в точке (0, 0), ветви которой являются лучами $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$ и направлены вверх.

б) $y = |x - 3| + 1$

График этой функции можно построить с помощью геометрических преобразований графика функции $y = |x|$.

1. Начнем с базового графика $y = |x|$ (V-образная кривая с вершиной в (0, 0)).
2. Преобразование $y = |x - 3|$ соответствует сдвигу графика $y = |x|$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. Вершина сместится в точку (3, 0).
3. Преобразование $y = |x - 3| + 1$ соответствует сдвигу графика $y = |x - 3|$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Вершина сместится в точку (3, 1).

Таким образом, искомый график — это "галочка", вершина которой находится в точке (3, 1), а ветви направлены вверх. Для точности найдем еще пару точек. Например, при $x = 4$, $y = |4 - 3| + 1 = 1 + 1 = 2$. При $x = 2$, $y = |2 - 3| + 1 = |-1| + 1 = 2$. Точки: (4, 2) и (2, 2).

Ответ: График функции представляет собой "галочку" с вершиной в точке (3, 1), ветви которой направлены вверх. График получен сдвигом графика $y = |x|$ на 3 единицы вправо и на 1 единицу вверх.

в) $y = -|x - 2|$

График этой функции также можно построить с помощью преобразований графика $y = |x|$.

1. Начнем с графика $y = |x|$.
2. График $y = |x - 2|$ получается сдвигом графика $y = |x|$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Вершина перемещается в точку (2, 0).
3. Знак "минус" перед модулем, т.е. $y = -|x - 2|$, означает симметричное отражение графика $y = |x - 2|$ относительно оси Ox. Ветви "галочки" теперь будут направлены вниз.

Вершина графика останется в точке (2, 0). Найдем дополнительные точки: при $x = 3$, $y = -|3 - 2| = -1$. При $x = 1$, $y = -|1 - 2| = -|-1| = -1$. Точки: (3, -1) и (1, -1).

Ответ: График функции представляет собой перевернутую "галочку" с вершиной в точке (2, 0), ветви которой направлены вниз. График получен сдвигом графика $y = |x|$ на 2 единицы вправо и последующим отражением относительно оси Ox.

г) $y = 2 - |x|$

Перепишем функцию в виде $y = -|x| + 2$ для удобства анализа преобразований.

1. Начнем с графика $y = |x|$.
2. Функция $y = -|x|$ получается из $y = |x|$ путем симметричного отражения относительно оси Ox. Вершина остается в (0, 0), но ветви направлены вниз.
3. Функция $y = -|x| + 2$ получается из $y = -|x|$ сдвигом на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Вершина перемещается из (0, 0) в точку (0, 2).

Искомый график — перевернутая "галочка" с вершиной в точке (0, 2) и ветвями, направленными вниз. Найдем точки пересечения с осью Ox (где $y=0$): $0 = 2 - |x| \implies |x| = 2$. Отсюда $x = 2$ и $x = -2$. Точки пересечения: (2, 0) и (-2, 0).

Ответ: График функции представляет собой перевернутую "галочку" с вершиной в точке (0, 2), ветви которой направлены вниз. График получен отражением графика $y = |x|$ относительно оси Ox и последующим сдвигом на 2 единицы вверх.