Номер 101, страница 17, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

101. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

a) $y = |x|$ на отрезке $[-\sqrt{2}; 1];$

б) $y = -|x + 4|$ на отрезке $[-\sqrt{2}; 1];$

в) $y = -|x| + 5$ на отрезке $[-1; \sqrt{3}];$

г) $y = |x - 1| - 3$ на отрезке $[2; \sqrt{5}].$

а) $y = |x|$ на отрезке $[-\sqrt{2}; 1]$

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке, необходимо вычислить значения функции на концах этого отрезка и в его критических точках, которые попадают в данный отрезок. Затем из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Для функции $y = |x|$ критической точкой является $x = 0$, в которой производная не определена (это вершина "галочки" графика). Эта точка принадлежит отрезку $[-\sqrt{2}; 1]$.

Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

• $y(0) = |0| = 0$
• $y(-\sqrt{2}) = |-\sqrt{2}| = \sqrt{2}$
• $y(1) = |1| = 1$

Сравнивая полученные значения ($0$, $1$ и $\sqrt{2} \approx 1.414$), находим, что наименьшее значение равно $0$, а наибольшее равно $\sqrt{2}$.

Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшее значение $\sqrt{2}$.

б) $y = -|x + 4|$ на отрезке $[-\sqrt{2}; 1]$

Критическая точка для функции $y = -|x + 4|$ находится там, где выражение под модулем равно нулю: $x + 4 = 0$, то есть $x = -4$.

Данная критическая точка $x = -4$ не принадлежит отрезку $[-\sqrt{2}; 1]$ (так как $-\sqrt{2} \approx -1.414$). Это означает, что на данном отрезке функция является монотонной.

Для любого $x$ из отрезка $[-\sqrt{2}; 1]$, выражение $x+4$ будет положительным. Следовательно, $|x+4| = x+4$. Тогда функция на данном отрезке принимает вид $y = -(x+4) = -x - 4$. Это линейная функция с отрицательным коэффициентом при $x$, значит, она убывает на всей области определения, включая заданный отрезок.

Для убывающей функции на отрезке наибольшее значение достигается в левой крайней точке, а наименьшее — в правой.

• Наибольшее значение: $y(-\sqrt{2}) = -|-\sqrt{2} + 4| = -(4 - \sqrt{2}) = \sqrt{2} - 4$.
• Наименьшее значение: $y(1) = -|1 + 4| = -|5| = -5$.

Ответ: наименьшее значение $-5$, наибольшее значение $\sqrt{2} - 4$.

в) $y = -|x| + 5$ на отрезке $[-1; \sqrt{3}]$

Критическая точка для функции $y = -|x| + 5$ — это $x = 0$. Эта точка принадлежит отрезку $[-1; \sqrt{3}]$ (так как $\sqrt{3} \approx 1.732$). В этой точке находится вершина графика, и так как перед модулем стоит знак минус, это точка максимума.

Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

• $y(0) = -|0| + 5 = 5$
• $y(-1) = -|-1| + 5 = -1 + 5 = 4$
• $y(\sqrt{3}) = -|\sqrt{3}| + 5 = 5 - \sqrt{3}$

Сравнивая полученные значения ($5$, $4$ и $5 - \sqrt{3} \approx 5 - 1.732 = 3.268$), находим, что наименьшее значение равно $5 - \sqrt{3}$, а наибольшее равно $5$.

Ответ: наименьшее значение $5 - \sqrt{3}$, наибольшее значение $5$.

г) $y = |x - 1| - 3$ на отрезке $[2; \sqrt{5}]$

Критическая точка для функции $y = |x - 1| - 3$ находится при $x - 1 = 0$, то есть $x = 1$.

Эта точка $x=1$ не принадлежит отрезку $[2; \sqrt{5}]$ (так как $\sqrt{5} \approx 2.236$). Следовательно, на данном отрезке функция монотонна.

Для любого $x$ из отрезка $[2; \sqrt{5}]$, выражение $x-1$ будет положительным. Следовательно, $|x-1| = x-1$. Тогда функция на данном отрезке принимает вид $y = (x-1) - 3 = x - 4$. Это линейная функция с положительным коэффициентом при $x$, значит, она возрастает.

Для возрастающей функции на отрезке наименьшее значение достигается в левой крайней точке, а наибольшее — в правой.

• Наименьшее значение: $y(2) = |2 - 1| - 3 = 1 - 3 = -2$.
• Наибольшее значение: $y(\sqrt{5}) = |\sqrt{5} - 1| - 3 = (\sqrt{5} - 1) - 3 = \sqrt{5} - 4$.

Ответ: наименьшее значение $-2$, наибольшее значение $\sqrt{5} - 4$.