Номер 99, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

99. Решите графически систему уравнений:

а) $\begin{cases} y = x^2 - 6x + 5, \\ y = \sqrt{x - 3} - 4 \end{cases};$

б) $\begin{cases} y = -\sqrt{x + 1} - 1, \\ y = \frac{2}{x - 1} \end{cases}.$

a)

Для решения данной системы уравнений графическим методом необходимо построить графики функций $y = x^2 - 6x + 5$ и $y = \sqrt{x - 3} - 4$ в одной системе координат и найти точки их пересечения.

1. Построим график функции $y = x^2 - 6x + 5$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен.

• Найдем координаты вершины параболы по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

  $x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$.

  $y_0 = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$.

  Вершина находится в точке $(3, -4)$.

• Найдем точки пересечения с осью OX, решив уравнение $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 5$. Точки пересечения: $(1, 0)$ и $(5, 0)$.

• Найдем точку пересечения с осью OY, подставив $x=0$: $y=5$. Точка $(0, 5)$.

2. Построим график функции $y = \sqrt{x - 3} - 4$. Это ветвь параболы, выходящая из точки и идущая вправо и вверх.

• Область определения функции: $x - 3 \ge 0$, откуда $x \ge 3$.

• График получен из графика $y=\sqrt{x}$ сдвигом на 3 единицы вправо и на 4 единицы вниз.

• Найдем координаты начальной точки: при $x=3$, $y = \sqrt{3-3} - 4 = -4$. Точка $(3, -4)$.

• Найдем еще одну точку для построения: при $x=4$, $y = \sqrt{4-3} - 4 = 1 - 4 = -3$. Точка $(4, -3)$.

3. Совместим графики на одной координатной плоскости. Точки пересечения графиков являются решениями системы.

Из анализа графиков видно, что они пересекаются в двух точках. Координаты этих точек: $(3, -4)$ и $(4, -3)$.

Выполним проверку, подставив координаты точек в оба уравнения системы.

Для точки $(3, -4)$:

$-4 = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 \implies -4 = -4$ (верно)

$-4 = \sqrt{3 - 3} - 4 \implies -4 = -4$ (верно)

Для точки $(4, -3)$:

$-3 = 4^2 - 6 \cdot 4 + 5 \implies -3 = -3$ (верно)

$-3 = \sqrt{4 - 3} - 4 \implies -3 = -3$ (верно)

Ответ: $(3, -4), (4, -3)$.

б)

Для решения данной системы уравнений графическим методом необходимо построить графики функций $y = -\sqrt{x+1} - 1$ и $y = \frac{2}{x-1}$ в одной системе координат и найти точки их пересечения.

1. Построим график функции $y = -\sqrt{x+1} - 1$. Это ветвь параболы.

• Область определения функции: $x+1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$.

• График получен из графика $y=\sqrt{x}$ сдвигом на 1 единицу влево, отражением относительно оси OX и сдвигом на 1 единицу вниз.

• Найдем координаты начальной точки: при $x=-1$, $y = -\sqrt{-1+1} - 1 = -1$. Точка $(-1, -1)$.

• Найдем еще несколько точек: при $x=0$, $y = -\sqrt{0+1} - 1 = -2$; при $x=3$, $y = -\sqrt{3+1} - 1 = -3$. Точки $(0, -2)$ и $(3, -3)$.

2. Построим график функции $y = \frac{2}{x-1}$. Это гипербола.

• Область определения: $x \ne 1$. Вертикальная асимптота: $x=1$.

• Горизонтальная асимптота: $y=0$.

• Найдем несколько точек для построения:

  при $x=-1$, $y=\frac{2}{-1-1}=-1$. Точка $(-1, -1)$.

  при $x=0$, $y=\frac{2}{0-1}=-2$. Точка $(0, -2)$.

  при $x=2$, $y=\frac{2}{2-1}=2$. Точка $(2, 2)$.

  при $x=3$, $y=\frac{2}{3-1}=1$. Точка $(3, 1)$.

3. Совместим графики на одной координатной плоскости. Точки пересечения графиков являются решениями системы.

Из вычисленных точек видно, что графики имеют две общие точки: $(-1, -1)$ и $(0, -2)$.

При $x>1$ график функции $y = -\sqrt{x+1}-1$ принимает только отрицательные значения, а график $y = \frac{2}{x-1}$ — только положительные, значит, других точек пересечения нет.

Выполним проверку, подставив координаты найденных точек в оба уравнения системы.

Для точки $(-1, -1)$:

$-1 = -\sqrt{-1+1} - 1 \implies -1 = -1$ (верно)

$-1 = \frac{2}{-1-1} \implies -1 = -1$ (верно)

Для точки $(0, -2)$:

$-2 = -\sqrt{0+1} - 1 \implies -2 = -2$ (верно)

$-2 = \frac{2}{0-1} \implies -2 = -2$ (верно)

Ответ: $(-1, -1), (0, -2)$.