Страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

95. Функция задана формулой:

а) $y = \frac{1}{x} + 4;$ в) $y = -\frac{2}{x - 5};$

б) $y = -\frac{4}{x - 3} + 5;$ г) $y = \frac{3}{x + 1} - 2.$

Не выполняя построения графика, найдите:

1) область определения функции;

2) множество значений функции;

3) промежутки монотонности функции;

4) координаты центра симметрии гиперболы;

5) асимптоты гиперболы.

а) Для функции $y = \frac{1}{x} + 4$

1) область определения функции

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция определена. Для дробно-рациональной функции знаменатель дроби не должен равняться нулю. В данном случае знаменатель равен $x$, поэтому $x \neq 0$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2) множество значений функции

Множество значений функции — это множество всех значений, которые может принимать переменная $y$. Выражение $\frac{1}{x}$ может принимать любые значения, кроме нуля. Следовательно, сумма $\frac{1}{x} + 4$ может принимать любые значения, кроме 4.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

3) промежутки монотонности функции

Данная функция является частным случаем функции $y = \frac{k}{x-a} + b$. Здесь коэффициент $k=1$. Поскольку $k > 0$, функция является убывающей на каждом из промежутков своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

4) координаты центра симметрии гиперболы

График функции $y = \frac{1}{x} + 4$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{1}{x}$ на 4 единицы вверх по оси Oy. Центр симметрии гиперболы $y = \frac{1}{x}$ находится в точке $(0,0)$, следовательно, центр симметрии для данной функции находится в точке $(0, 4)$.

Ответ: $(0; 4)$.

5) асимптоты гиперболы

Вертикальная асимптота соответствует значению $x$, при котором знаменатель обращается в ноль. Горизонтальная асимптота — это значение, к которому стремится $y$ при $x \to \pm\infty$. Для функции $y = \frac{1}{x} + 4$ вертикальная асимптота — $x=0$, а горизонтальная — $y=4$.

Ответ: вертикальная асимптота: $x=0$; горизонтальная асимптота: $y=4$.

б) Для функции $y = -\frac{4}{x - 3} + 5$

1) область определения функции

Знаменатель дроби $x-3$ не должен равняться нулю, следовательно, $x-3 \neq 0$, что означает $x \neq 3$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2) множество значений функции

Выражение $-\frac{4}{x - 3}$ не может быть равно нулю. Следовательно, вся функция $y = -\frac{4}{x - 3} + 5$ не может принимать значение, равное 5.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$.

3) промежутки монотонности функции

Функция имеет вид $y = \frac{k}{x-a} + b$ с коэффициентом $k=-4$. Поскольку $k < 0$, функция является возрастающей на каждом из промежутков своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 3)$ и $(3; +\infty)$.

4) координаты центра симметрии гиперболы

График функции получен сдвигом графика $y = -\frac{4}{x}$ на 3 единицы вправо и на 5 единиц вверх. Центр симметрии смещается из $(0,0)$ в точку $(3, 5)$.

Ответ: $(3; 5)$.

5) асимптоты гиперболы

Вертикальная асимптота проходит через точку разрыва функции: $x=3$. Горизонтальная асимптота соответствует сдвигу по оси Oy: $y=5$.

Ответ: вертикальная асимптота: $x=3$; горизонтальная асимптота: $y=5$.

в) Для функции $y = -\frac{2}{x - 5}$

1) область определения функции

Знаменатель дроби $x-5$ не должен равняться нулю, следовательно, $x-5 \neq 0$, что означает $x \neq 5$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$.

2) множество значений функции

Данную функцию можно записать как $y = -\frac{2}{x - 5} + 0$. Выражение $-\frac{2}{x - 5}$ не может быть равно нулю. Следовательно, $y$ не может принимать значение, равное 0.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3) промежутки монотонности функции

Коэффициент $k=-2$. Поскольку $k < 0$, функция является возрастающей на каждом из промежутков своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 5)$ и $(5; +\infty)$.

4) координаты центра симметрии гиперболы

График функции получен сдвигом графика $y = -\frac{2}{x}$ на 5 единиц вправо. Центр симметрии смещается из $(0,0)$ в точку $(5, 0)$.

Ответ: $(5; 0)$.

5) асимптоты гиперболы

Вертикальная асимптота: $x=5$. Горизонтальная асимптота: $y=0$ (так как сдвига по оси Oy нет).

Ответ: вертикальная асимптота: $x=5$; горизонтальная асимптота: $y=0$.

г) Для функции $y = \frac{3}{x + 1} - 2$

1) область определения функции

Знаменатель дроби $x+1$ не должен равняться нулю, следовательно, $x+1 \neq 0$, что означает $x \neq -1$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2) множество значений функции

Выражение $\frac{3}{x + 1}$ не может быть равно нулю. Следовательно, вся функция $y = \frac{3}{x + 1} - 2$ не может принимать значение, равное -2.

Ответ: $E(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

3) промежутки монотонности функции

Коэффициент $k=3$. Поскольку $k > 0$, функция является убывающей на каждом из промежутков своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$.

4) координаты центра симметрии гиперболы

График функции получен сдвигом графика $y = \frac{3}{x}$ на 1 единицу влево (так как $x+1 = x-(-1)$) и на 2 единицы вниз. Центр симметрии смещается из $(0,0)$ в точку $(-1, -2)$.

Ответ: $(-1; -2)$.

5) асимптоты гиперболы

Вертикальная асимптота: $x=-1$. Горизонтальная асимптота: $y=-2$.

Ответ: вертикальная асимптота: $x=-1$; горизонтальная асимптота: $y=-2$.

96. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на указанном промежутке:

а) $y = -\frac{6}{x}$ на луче $[1; +\infty)$;

б) $y = \frac{4}{x+1}$ на отрезке $[0; 3]$;

в) $y = \frac{8}{x} - 2$ на отрезке $[-4; -1]$;

г) $y = -\frac{4}{x-3} + 1$ на полуинтервале $(3; 7]$

а) Дана функция $y = -\frac{6}{x}$ на луче $[1; +\infty)$.

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения, исследуем функцию на монотонность. Для этого найдем её производную:

$y' = (-\frac{6}{x})' = -6 \cdot (x^{-1})' = -6 \cdot (-1) \cdot x^{-2} = \frac{6}{x^2}$.

На промежутке $[1; +\infty)$ значение $x^2$ всегда положительно, следовательно, производная $y' = \frac{6}{x^2} > 0$. Это означает, что функция является возрастающей на всем указанном луче.

Поскольку функция возрастает, свое наименьшее значение она принимает в левой границе промежутка, то есть при $x=1$:

$y_{наим} = y(1) = -\frac{6}{1} = -6$.

Так как $x$ может неограниченно возрастать ($x \to +\infty$), значение функции будет приближаться к 0, но никогда его не достигнет: $\lim_{x \to +\infty} (-\frac{6}{x}) = 0$. Следовательно, наибольшего значения у функции на данном луче не существует.

Ответ: наименьшее значение функции равно -6, наибольшего значения не существует.

б) Дана функция $y = \frac{4}{x+1}$ на отрезке $[0; 3]$.

Функция определена и непрерывна на всем отрезке $[0; 3]$. Для нахождения наименьшего и наибольшего значений исследуем её на монотонность с помощью производной:

$y' = (\frac{4}{x+1})' = 4 \cdot ((x+1)^{-1})' = 4 \cdot (-1) \cdot (x+1)^{-2} \cdot (x+1)' = -\frac{4}{(x+1)^2}$.

На отрезке $[0; 3]$ выражение $(x+1)^2$ всегда положительно, значит, производная $y' = -\frac{4}{(x+1)^2} < 0$. Следовательно, функция является убывающей на всем отрезке.

Для убывающей функции на отрезке наибольшее значение достигается в его левой границе, а наименьшее — в правой.

Наибольшее значение при $x=0$:

$y_{наиб} = y(0) = \frac{4}{0+1} = 4$.

Наименьшее значение при $x=3$:

$y_{наим} = y(3) = \frac{4}{3+1} = \frac{4}{4} = 1$.

Ответ: наименьшее значение функции равно 1, наибольшее значение равно 4.

в) Дана функция $y = \frac{8}{x} - 2$ на отрезке $[-4; -1]$.

Функция определена и непрерывна на всем отрезке $[-4; -1]$. Найдем её производную для анализа монотонности:

$y' = (\frac{8}{x} - 2)' = (8x^{-1})' - (2)' = 8 \cdot (-1) \cdot x^{-2} - 0 = -\frac{8}{x^2}$.

На отрезке $[-4; -1]$ значение $x^2$ всегда положительно. Поэтому производная $y' = -\frac{8}{x^2} < 0$. Это означает, что функция является убывающей на всем указанном отрезке.

Так как функция убывает, свое наибольшее значение она принимает в левой границе отрезка, а наименьшее — в правой.

Наибольшее значение при $x=-4$:

$y_{наиб} = y(-4) = \frac{8}{-4} - 2 = -2 - 2 = -4$.

Наименьшее значение при $x=-1$:

$y_{наим} = y(-1) = \frac{8}{-1} - 2 = -8 - 2 = -10$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -10, наибольшее значение равно -4.

г) Дана функция $y = -\frac{4}{x-3} + 1$ на полуинтервале $(3; 7]$.

Точка $x=3$ является вертикальной асимптотой функции и не входит в заданный промежуток. На всем полуинтервале $(3; 7]$ функция непрерывна. Найдем её производную:

$y' = (-\frac{4}{x-3} + 1)' = (-4(x-3)^{-1})' + (1)' = -4 \cdot (-1) \cdot (x-3)^{-2} \cdot (x-3)' + 0 = \frac{4}{(x-3)^2}$.

На полуинтервале $(3; 7]$ выражение $(x-3)^2$ всегда положительно, значит, производная $y' = \frac{4}{(x-3)^2} > 0$. Следовательно, функция является возрастающей на всем указанном промежутке.

Поскольку функция возрастает, свое наибольшее значение она достигает в правом, включенном в промежуток, конце, то есть при $x=7$:

$y_{наиб} = y(7) = -\frac{4}{7-3} + 1 = -\frac{4}{4} + 1 = -1 + 1 = 0$.

Наименьшее значение функция должна была бы принять на левой границе, но точка $x=3$ не входит в промежуток. Найдем предел функции при приближении к $x=3$ справа:

$\lim_{x \to 3^+} (-\frac{4}{x-3} + 1) = -\infty$.

Так как функция стремится к минус бесконечности, она не ограничена снизу, и наименьшего значения на данном полуинтервале не существует.

Ответ: наибольшее значение функции равно 0, наименьшего значения не существует.

97. Решите графически систему уравнений:

а) $\begin{cases} y = -0.5x^2 + 2x + 1, \\ y = \frac{5}{x+1}; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = -\frac{6}{x} + 1, \\ y = x^2 - 2x - 4. \end{cases}$

а)

Чтобы решить систему уравнений графически, построим графики функций $y = -0,5x^2 + 2x + 1$ и $y = \frac{5}{x + 1}$ в одной координатной плоскости. Решениями системы будут координаты точек пересечения этих графиков.

1. Графиком функции $y = -0,5x^2 + 2x + 1$ является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-0,5$), ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-0,5)} = 2$
$y_0 = -0,5 \cdot (2)^2 + 2 \cdot 2 + 1 = -2 + 4 + 1 = 3$
Вершина параболы находится в точке $(2; 3)$.

Составим таблицу значений для нескольких точек:

2. Графиком функции $y = \frac{5}{x+1}$ является гипербола. Она получена из графика $y = \frac{5}{x}$ сдвигом на 1 единицу влево по оси Ox.
Вертикальная асимптота: $x = -1$.
Горизонтальная асимптота: $y = 0$.

Составим таблицу значений для нескольких точек:

3. Построим графики. Точки их пересечения — это решения системы.
Сравнивая таблицы значений и анализируя построенные графики, находим три точки пересечения: $(-2; -5)$, $(1; 2,5)$ и $(4; 1)$.

Ответ: $(-2; -5)$, $(1; 2,5)$, $(4; 1)$.

б)

Чтобы решить систему уравнений графически, построим графики функций $y = -\frac{6}{x} + 1$ и $y = x^2 - 2x - 4$ в одной координатной плоскости. Решениями системы будут координаты точек пересечения этих графиков.

1. Графиком функции $y = -\frac{6}{x} + 1$ является гипербола. Она получена из графика $y = -\frac{6}{x}$ (ветви во II и IV четвертях) сдвигом на 1 единицу вверх по оси Oy.
Вертикальная асимптота: $x = 0$.
Горизонтальная асимптота: $y = 1$.

Составим таблицу значений для нескольких точек:

2. Графиком функции $y = x^2 - 2x - 4$ является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положительный ($1$), ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$
$y_0 = (1)^2 - 2 \cdot 1 - 4 = 1 - 2 - 4 = -5$
Вершина параболы находится в точке $(1; -5)$.

Составим таблицу значений для нескольких точек:

3. Построим графики. Точки их пересечения — это решения системы.
Сравнивая таблицы значений и анализируя построенные графики, находим три точки пересечения: $(-2; 4)$, $(1; -5)$ и $(3; -1)$.

Ответ: $(-2; 4)$, $(1; -5)$, $(3; -1)$.

98. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

а) $y = \sqrt{x}$ на луче $[4; +\infty)$;

б) $y = -\sqrt{x} + 2$ на отрезке $[0; 3];

в) $y = -\sqrt{x} + 4$ на полуинтервале $(0; 4];

г) $y = \sqrt{x - 3} + 1$ на отрезке $[6; 9].

а)

Функция $y = \sqrt{x}$ является строго возрастающей на всей своей области определения $[0; +\infty)$, а значит, и на луче $[4; +\infty)$.

Это означает, что чем больше значение аргумента $x$, тем больше значение функции $y$.

Следовательно, наименьшее значение функция принимает в начальной точке луча, то есть при наименьшем возможном значении $x$, которое равно 4.

$y_{наим} = y(4) = \sqrt{4} = 2$.

Поскольку аргумент $x$ может неограниченно возрастать ($x \to +\infty$), значение функции $y = \sqrt{x}$ также будет неограниченно возрастать. Таким образом, функция не ограничена сверху на данном луче, и наибольшего значения у нее не существует.

Ответ: наименьшее значение равно 2, наибольшего значения не существует.

б)

Рассмотрим функцию $y = -\sqrt{x} + 2$. Базовая функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей. Умножение на -1 меняет монотонность на противоположную, поэтому функция $y = -\sqrt{x}$ является убывающей. Прибавление константы 2 сдвигает график вверх, но не влияет на монотонность. Таким образом, функция $y = -\sqrt{x} + 2$ является убывающей на всей своей области определения $[0; +\infty)$, и в частности на отрезке $[0; 3]$.

Для убывающей функции на отрезке наибольшее значение достигается в левой границе отрезка, а наименьшее — в правой.

Наибольшее значение (при $x=0$):

$y_{наиб} = y(0) = -\sqrt{0} + 2 = 0 + 2 = 2$.

Наименьшее значение (при $x=3$):

$y_{наим} = y(3) = -\sqrt{3} + 2 = 2 - \sqrt{3}$.

Ответ: наибольшее значение равно 2, наименьшее значение равно $2 - \sqrt{3}$.

в)

Функция $y = -\sqrt{x} + 4$, аналогично предыдущему пункту, является убывающей на своей области определения $[0; +\infty)$, а значит и на полуинтервале $(0; 4]$.

Так как функция убывает, свое наименьшее значение она примет в самой правой точке промежутка, где $x$ максимально. Эта точка $x=4$ входит в полуинтервал.

$y_{наим} = y(4) = -\sqrt{4} + 4 = -2 + 4 = 2$.

Наибольшее значение функция должна была бы принять в самой левой точке, но точка $x=0$ не принадлежит полуинтервалу $(0; 4]$. Когда $x$ приближается к 0 справа ($x \to 0^+$), значение функции $y$ приближается к $y(0) = -\sqrt{0} + 4 = 4$. Однако это значение никогда не достигается. Для любого значения функции, меньшего 4, можно найти такое $x > 0$, при котором значение функции будет еще ближе к 4. Следовательно, наибольшего значения на данном полуинтервале не существует (хотя верхняя грань значений равна 4).

Ответ: наименьшее значение равно 2, наибольшего значения не существует.

г)

Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x-3} + 1$. Она получена из базовой возрастающей функции $y = \sqrt{x}$ путем сдвига на 3 единицы вправо и на 1 единицу вверх. Эти преобразования не меняют монотонность функции. Таким образом, функция $y = \sqrt{x-3} + 1$ является возрастающей на всей своей области определения $[3; +\infty)$.

Отрезок $[6; 9]$ полностью входит в область определения, и на нем функция также является возрастающей.

Для возрастающей функции на отрезке наименьшее значение достигается в левой границе отрезка, а наибольшее — в правой.

Наименьшее значение (при $x=6$):

$y_{наим} = y(6) = \sqrt{6-3} + 1 = \sqrt{3} + 1$.

Наибольшее значение (при $x=9$):

$y_{наиб} = y(9) = \sqrt{9-3} + 1 = \sqrt{6} + 1$.

Ответ: наименьшее значение равно $\sqrt{3} + 1$, наибольшее значение равно $\sqrt{6} + 1$.

99. Решите графически систему уравнений:

а) $\begin{cases} y = x^2 - 6x + 5, \\ y = \sqrt{x - 3} - 4 \end{cases};$

б) $\begin{cases} y = -\sqrt{x + 1} - 1, \\ y = \frac{2}{x - 1} \end{cases}.$

a)

Для решения данной системы уравнений графическим методом необходимо построить графики функций $y = x^2 - 6x + 5$ и $y = \sqrt{x - 3} - 4$ в одной системе координат и найти точки их пересечения.

1. Построим график функции $y = x^2 - 6x + 5$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен.

• Найдем координаты вершины параболы по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

  $x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$.

  $y_0 = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$.

  Вершина находится в точке $(3, -4)$.

• Найдем точки пересечения с осью OX, решив уравнение $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 5$. Точки пересечения: $(1, 0)$ и $(5, 0)$.

• Найдем точку пересечения с осью OY, подставив $x=0$: $y=5$. Точка $(0, 5)$.

2. Построим график функции $y = \sqrt{x - 3} - 4$. Это ветвь параболы, выходящая из точки и идущая вправо и вверх.

• Область определения функции: $x - 3 \ge 0$, откуда $x \ge 3$.

• График получен из графика $y=\sqrt{x}$ сдвигом на 3 единицы вправо и на 4 единицы вниз.

• Найдем координаты начальной точки: при $x=3$, $y = \sqrt{3-3} - 4 = -4$. Точка $(3, -4)$.

• Найдем еще одну точку для построения: при $x=4$, $y = \sqrt{4-3} - 4 = 1 - 4 = -3$. Точка $(4, -3)$.

3. Совместим графики на одной координатной плоскости. Точки пересечения графиков являются решениями системы.

Из анализа графиков видно, что они пересекаются в двух точках. Координаты этих точек: $(3, -4)$ и $(4, -3)$.

Выполним проверку, подставив координаты точек в оба уравнения системы.

Для точки $(3, -4)$:

$-4 = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 \implies -4 = -4$ (верно)

$-4 = \sqrt{3 - 3} - 4 \implies -4 = -4$ (верно)

Для точки $(4, -3)$:

$-3 = 4^2 - 6 \cdot 4 + 5 \implies -3 = -3$ (верно)

$-3 = \sqrt{4 - 3} - 4 \implies -3 = -3$ (верно)

Ответ: $(3, -4), (4, -3)$.

б)

Для решения данной системы уравнений графическим методом необходимо построить графики функций $y = -\sqrt{x+1} - 1$ и $y = \frac{2}{x-1}$ в одной системе координат и найти точки их пересечения.

1. Построим график функции $y = -\sqrt{x+1} - 1$. Это ветвь параболы.

• Область определения функции: $x+1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$.

• График получен из графика $y=\sqrt{x}$ сдвигом на 1 единицу влево, отражением относительно оси OX и сдвигом на 1 единицу вниз.

• Найдем координаты начальной точки: при $x=-1$, $y = -\sqrt{-1+1} - 1 = -1$. Точка $(-1, -1)$.

• Найдем еще несколько точек: при $x=0$, $y = -\sqrt{0+1} - 1 = -2$; при $x=3$, $y = -\sqrt{3+1} - 1 = -3$. Точки $(0, -2)$ и $(3, -3)$.

2. Построим график функции $y = \frac{2}{x-1}$. Это гипербола.

• Область определения: $x \ne 1$. Вертикальная асимптота: $x=1$.

• Горизонтальная асимптота: $y=0$.

• Найдем несколько точек для построения:

  при $x=-1$, $y=\frac{2}{-1-1}=-1$. Точка $(-1, -1)$.

  при $x=0$, $y=\frac{2}{0-1}=-2$. Точка $(0, -2)$.

  при $x=2$, $y=\frac{2}{2-1}=2$. Точка $(2, 2)$.

  при $x=3$, $y=\frac{2}{3-1}=1$. Точка $(3, 1)$.

3. Совместим графики на одной координатной плоскости. Точки пересечения графиков являются решениями системы.

Из вычисленных точек видно, что графики имеют две общие точки: $(-1, -1)$ и $(0, -2)$.

При $x>1$ график функции $y = -\sqrt{x+1}-1$ принимает только отрицательные значения, а график $y = \frac{2}{x-1}$ — только положительные, значит, других точек пересечения нет.

Выполним проверку, подставив координаты найденных точек в оба уравнения системы.

Для точки $(-1, -1)$:

$-1 = -\sqrt{-1+1} - 1 \implies -1 = -1$ (верно)

$-1 = \frac{2}{-1-1} \implies -1 = -1$ (верно)

Для точки $(0, -2)$:

$-2 = -\sqrt{0+1} - 1 \implies -2 = -2$ (верно)

$-2 = \frac{2}{0-1} \implies -2 = -2$ (верно)

Ответ: $(-1, -1), (0, -2)$.