Страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Что означает запись $a : b$, где $a, b$ — натуральные числа?
Чем она отличается от записи $a : b$?

Что означает запись $a \vdots b$, где $a, b$ — натуральные числа?

Запись $a \vdots b$ читается как «число $a$ делится на число $b$» или «число $a$ кратно числу $b$». Эта запись является математическим утверждением, которое описывает отношение делимости между двумя натуральными числами $a$ и $b$.
Утверждение $a \vdots b$ считается истинным (верным), если деление числа $a$ на число $b$ происходит нацело, то есть без остатка. Это значит, что существует такое натуральное число $k$, что выполняется равенство: $a = b \cdot k$
В этом случае число $b$ называют делителем числа $a$, а число $a$ — кратным числа $b$.
Например, запись $18 \vdots 6$ — это истинное утверждение, так как существует натуральное число $3$, такое что $18 = 6 \cdot 3$.
В то же время, запись $18 \vdots 7$ — это ложное утверждение, так как не существует натурального числа $k$, которое бы удовлетворяло равенству $18 = 7 \cdot k$.

Ответ: Запись $a \vdots b$ означает, что натуральное число $a$ делится на натуральное число $b$ нацело, то есть без остатка.

Чем она отличается от записи $a : b$?

Записи $a \vdots b$ и $a : b$ обозначают совершенно разные математические концепции и имеют принципиальные отличия.

Запись $a \vdots b$ (делимость) — это логическое утверждение, или предикат. Оно не является операцией и не имеет численного результата. Эта запись лишь констатирует факт о делимости одного числа на другое. Результатом такого утверждения может быть только одно из двух логических значений: «истина» (если $a$ делится на $b$ без остатка) или «ложь» (если при делении есть остаток).

Запись $a : b$ (деление) — это арифметическая операция. Она представляет собой действие, которое нужно выполнить: разделить число $a$ (делимое) на число $b$ (делитель). Результатом этой операции всегда является число, называемое частным. Это число может быть как натуральным ($18:6=3$), так и дробным ($18:7 \approx 2.57...$ или $2 \frac{4}{7}$).

Таким образом, утверждение $a \vdots b$ отвечает на вопрос «верно ли, что $a$ делится на $b$?», в то время как операция $a : b$ отвечает на вопрос «чему равно частное от деления $a$ на $b$?».

Ответ: Запись $a \vdots b$ — это утверждение о делимости (его результат — «истина» или «ложь»), а запись $a : b$ — это операция деления (её результат — число).

1.6. а) Если $n : p$, то $(n \cdot m) : p$ для любого натурального $m$.

б) Если $x : 5$, то $3x : 15$.

в) Если $x : 7$ и $y : 3$, то $(xy + 14y) : 21$.

г) Если $x : 17$ и $y : 4$, то $(2xy - 34y) : 136$.

а) По условию, число $n$ делится на $p$. Запись $n \vdots p$ означает, что существует такое целое число $k$, для которого выполняется равенство $n = p \cdot k$.

Рассмотрим произведение $(n \cdot m)$. Подставим в него выражение для $n$:

$n \cdot m = (p \cdot k) \cdot m = p \cdot (k \cdot m)$

Так как $k$ — целое число, а $m$ — натуральное (а значит, и целое) число, их произведение $(k \cdot m)$ также является целым числом. Обозначим $q = k \cdot m$, где $q$ — целое число.

Тогда $n \cdot m = p \cdot q$. Это по определению означает, что произведение $(n \cdot m)$ делится на $p$. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение верно.

б) По условию, $x$ делится на 5. Это значит, что существует такое целое число $k$, что $x = 5k$.

Рассмотрим выражение $3x$. Подставим в него выражение для $x$:

$3x = 3 \cdot (5k) = (3 \cdot 5) \cdot k = 15k$

Так как $k$ — целое число, произведение $15k$ по определению делится на 15. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение верно.

в) По условию, $x$ делится на 7 и $y$ делится на 3. Это означает, что существуют такие целые числа $k$ и $l$, что $x = 7k$ и $y = 3l$.

Рассмотрим выражение $(xy + 14y)$. Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$xy + 14y = y(x + 14)$

Теперь подставим выражения для $x$ и $y$:

$y(x + 14) = (3l)(7k + 14)$

Вынесем общий множитель 7 из второй скобки:

$(3l) \cdot 7(k + 2) = 3 \cdot 7 \cdot l \cdot (k + 2) = 21 \cdot l(k + 2)$

Поскольку $k$ и $l$ — целые числа, выражение $l(k + 2)$ также является целым числом. Обозначим его $q$.

Тогда $xy + 14y = 21q$. Это по определению означает, что выражение $(xy + 14y)$ делится на 21. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение верно.

г) По условию, $x$ делится на 17 и $y$ делится на 4. Это означает, что существуют такие целые числа $k$ и $l$, что $x = 17k$ и $y = 4l$.

Рассмотрим выражение $(2xy - 34y)$. Вынесем общий множитель $2y$ за скобки:

$2xy - 34y = 2y(x - 17)$

Теперь подставим выражения для $x$ и $y$:

$2y(x - 17) = 2 \cdot (4l) \cdot (17k - 17)$

Вынесем общий множитель 17 из второй скобки:

$2 \cdot (4l) \cdot 17(k - 1) = (2 \cdot 4 \cdot 17) \cdot l(k - 1) = (8 \cdot 17) \cdot l(k-1) = 136 \cdot l(k - 1)$

Поскольку $k$ и $l$ — целые числа, выражение $l(k - 1)$ также является целым числом. Обозначим его $q$.

Тогда $2xy - 34y = 136q$. Это по определению означает, что выражение $(2xy - 34y)$ делится на 136. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение верно.

Докажите, что:

1.7. а) Сумма двух чётных чисел есть чётное число;

б) сумма двух нечётных чисел есть чётное число;

в) сумма чётного и нечётного числа есть нечётное число;

г) если $x, y$ — произвольные натуральные числа, то $xy(x+y)$ и $xy(x-y)$ — чётные числа.

а) Сумма двух чётных чисел есть чётное число
Пусть даны два чётных числа $a$ и $b$. По определению, любое чётное число можно представить в виде $2n$, где $n$ — целое число.Тогда существуют целые числа $k$ и $m$ такие, что $a = 2k$ и $b = 2m$.Их сумма равна $a + b = 2k + 2m = 2(k+m)$.Поскольку $k$ и $m$ — целые числа, то их сумма $(k+m)$ также является целым числом. Обозначим $p = k+m$.Таким образом, сумма $a+b$ равна $2p$, что по определению является чётным числом.
Ответ: Сумма двух чётных чисел является чётным числом.

б) сумма двух нечётных чисел есть чётное число
Пусть даны два нечётных числа $a$ и $b$. По определению, любое нечётное число можно представить в виде $2n+1$, где $n$ — целое число.Тогда существуют целые числа $k$ и $m$ такие, что $a = 2k + 1$ и $b = 2m + 1$.Их сумма равна $a + b = (2k + 1) + (2m + 1) = 2k + 2m + 2 = 2(k+m+1)$.Поскольку $k$ и $m$ — целые числа, то выражение $(k+m+1)$ также является целым числом. Обозначим $p = k+m+1$.Таким образом, сумма $a+b$ равна $2p$, что по определению является чётным числом.
Ответ: Сумма двух нечётных чисел является чётным числом.

в) сумма чётного и нечётного числа есть нечётное число
Пусть даны чётное число $a$ и нечётное число $b$.Тогда существуют целые числа $k$ и $m$ такие, что $a = 2k$ и $b = 2m + 1$.Их сумма равна $a + b = 2k + (2m + 1) = 2(k+m) + 1$.Поскольку $k$ и $m$ — целые числа, то их сумма $(k+m)$ также является целым числом. Обозначим $p = k+m$.Таким образом, сумма $a+b$ равна $2p+1$, что по определению является нечётным числом.
Ответ: Сумма чётного и нечётного числа является нечётным числом.

г) если $x, y$ — произвольные натуральные числа, то $xy(x + y)$ и $xy(x ? y)$ — чётные числа
Чтобы доказать, что произведение является чётным, достаточно показать, что хотя бы один из его сомножителей является чётным числом. Для выражений $xy(x+y)$ и $xy(x-y)$ рассмотрим все возможные случаи чётности для натуральных чисел $x$ и $y$.
Случай 1: Хотя бы одно из чисел ($x$ или $y$) чётное.
Если $x$ — чётное, то произведения $xy(x+y)$ и $xy(x-y)$ содержат чётный множитель $x$, а значит, оба являются чётными. Аналогично, если $y$ — чётное, то оба произведения чётны.
Случай 2: Оба числа $x$ и $y$ нечётные.
В этом случае множители $x$ и $y$ нечётны. Рассмотрим чётность выражений $x+y$ и $x-y$.
Сумма двух нечётных чисел $x+y$ является чётным числом, что доказано в пункте б). Следовательно, произведение $xy(x+y)$ содержит чётный множитель $(x+y)$ и поэтому является чётным.
Разность двух нечётных чисел $x-y$ также является чётным числом. Если $x=2k+1$ и $y=2m+1$ (где $k,m$ - целые), то их разность $x-y = (2k+1)-(2m+1) = 2k-2m = 2(k-m)$, что является чётным числом. Следовательно, произведение $xy(x-y)$ содержит чётный множитель $(x-y)$ и также является чётным.
Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи, и в каждом из них оба выражения $xy(x+y)$ и $xy(x-y)$ являются чётными.
Ответ: Если $x, y$ — произвольные натуральные числа, то $xy(x+y)$ и $xy(x-y)$ — чётные числа.

1.8. a) Разность квадратов любых натуральных различных чисел делится на их сумму и на их разность;

б) разность любых натуральных различных чисел является делителем разности их кубов.

а)

Утверждение гласит, что разность квадратов любых двух различных натуральных чисел делится на их сумму и на их разность. Проверим это утверждение, доказав его истинность.

Пусть $a$ и $b$ – два различных натуральных числа, то есть $a, b \in \mathbb{N}$ и $a \neq b$.

Разность их квадратов равна $a^2 - b^2$. Их сумма равна $a+b$, а их разность равна $a-b$.

Для доказательства воспользуемся известной формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Это равенство показывает, что разность квадратов $a^2 - b^2$ является произведением двух множителей: $(a - b)$ и $(a + b)$.

1. Делимость на разность $(a-b)$.
Чтобы проверить, делится ли $a^2 - b^2$ на $a-b$, рассмотрим частное: $\frac{a^2 - b^2}{a - b} = \frac{(a - b)(a + b)}{a - b}$. Поскольку по условию числа $a$ и $b$ различны ($a \neq b$), их разность $a-b \neq 0$. Следовательно, мы можем сократить дробь на $(a-b)$: $\frac{(a - b)(a + b)}{a - b} = a + b$. Так как $a$ и $b$ – натуральные числа, их сумма $a+b$ также является натуральным числом (а значит, и целым). Это означает, что $a^2 - b^2$ делится на $a-b$ нацело.

2. Делимость на сумму $(a+b)$.
Аналогично проверим делимость на сумму $a+b$: $\frac{a^2 - b^2}{a + b} = \frac{(a - b)(a + b)}{a + b}$. Поскольку $a$ и $b$ – натуральные числа, их сумма $a+b \ge 1+2=3$ (так как они различны). Значит, $a+b \neq 0$. Сокращаем дробь на $(a+b)$: $\frac{(a - b)(a + b)}{a + b} = a - b$. Так как $a$ и $b$ – натуральные числа, их разность $a-b$ является целым числом. Это означает, что $a^2 - b^2$ делится на $a+b$ нацело.

Таким образом, оба условия выполняются.

Ответ: Утверждение верно. Разность квадратов $a^2 - b^2$ можно представить в виде произведения $(a-b)(a+b)$, из чего следует, что она делится нацело на каждый из сомножителей: на разность $(a-b)$ и на сумму $(a+b)$.

б)

Утверждение гласит, что разность любых двух различных натуральных чисел является делителем разности их кубов. Проверим это утверждение.

Пусть $a$ и $b$ – два различных натуральных числа, то есть $a, b \in \mathbb{N}$ и $a \neq b$.

Их разность равна $a-b$. Разность их кубов равна $a^3 - b^3$.

Нам нужно доказать, что $(a^3 - b^3)$ делится на $(a-b)$ без остатка. Для этого воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Чтобы показать, что $(a-b)$ является делителем $(a^3 - b^3)$, рассмотрим их частное: $\frac{a^3 - b^3}{a - b} = \frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a - b}$.

Поскольку по условию $a \neq b$, то разность $a-b \neq 0$. Мы можем сократить дробь на этот множитель: $\frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a - b} = a^2 + ab + b^2$.

Так как $a$ и $b$ – натуральные числа, то их квадраты ($a^2$, $b^2$) и их произведение ($ab$) также являются натуральными числами (или, в общем случае, целыми). Сумма целых чисел $a^2 + ab + b^2$ всегда является целым числом.

Поскольку частное от деления $(a^3 - b^3)$ на $(a-b)$ является целым числом, это доказывает, что $(a^3 - b^3)$ делится на $(a-b)$ нацело. Следовательно, разность чисел $(a-b)$ является делителем разности их кубов $(a^3 - b^3)$.

Ответ: Утверждение верно. Разность кубов $a^3 - b^3$ раскладывается на множители $(a-b)(a^2 + ab + b^2)$. Поскольку второй множитель $(a^2 + ab + b^2)$ является целым числом при любых натуральных $a$ и $b$, то $a^3 - b^3$ всегда делится на $(a-b)$.

1.9. а) Если $a + b$ делится на $c$, а $a - b$ не делится на $c$, то ни $a$, ни $b$ не делятся на $c$;

б) $ad + bc + ac + bd$ делится на $a + b$;

в) если $ad + bc$ делится на $a + b$, то и $ac + bd$ делится на $a + b$;

г) если $ad + bc$ не делится на $a + b$, то и $ac + bd$ не делится на $a + b$.

а)

Данное утверждение доказывается методом от противного.

Предположим, что одно из чисел, например $a$, делится на $c$. Это означает, что $a = kc$ для некоторого целого числа $k$. По условию, сумма $a+b$ делится на $c$, то есть $a+b = mc$ для некоторого целого $m$. Подставим выражение для $a$ в это равенство: $kc + b = mc$. Отсюда следует, что $b = mc - kc = (m-k)c$. Это означает, что число $b$ также делится на $c$.

Таким образом, если $a$ делится на $c$, то и $b$ должно делиться на $c$.

Теперь рассмотрим разность $a-b$. Если и $a$, и $b$ делятся на $c$, то их разность также должна делиться на $c$. Действительно, если $a=k_1c$ и $b=k_2c$, то $a-b = k_1c - k_2c = (k_1-k_2)c$, что является кратным $c$.

Однако это противоречит условию задачи, в котором сказано, что $a-b$ не делится на $c$. Следовательно, наше исходное предположение о том, что $a$ делится на $c$, было неверным.

Аналогичные рассуждения можно провести, если предположить, что $b$ делится на $c$. Это также приведет к выводу, что и $a$ делится на $c$, что, как мы показали, приводит к противоречию.

Следовательно, ни $a$, ни $b$ не делятся на $c$. Утверждение верно.

Ответ: Утверждение верно.

б)

Для доказательства этого утверждения преобразуем данное выражение путем группировки слагаемых и вынесения общих множителей.

Рассмотрим выражение $ad + bc + ac + bd$.

Сгруппируем слагаемые, содержащие общий множитель $c$ и общий множитель $d$:

$(ac + bc) + (ad + bd)$

Вынесем из первой скобки общий множитель $c$, а из второй — общий множитель $d$:

$c(a + b) + d(a + b)$

Теперь мы видим общий множитель $(a+b)$, который можно вынести за скобки:

$(a + b)(c + d)$

Полученное произведение $(a + b)(c + d)$ очевидно делится на $(a + b)$ без остатка. Таким образом, исходное выражение $ad + bc + ac + bd$ всегда делится на $a+b$.

Ответ: Утверждение верно.

в)

Пусть $X = ad+bc$ и $Y = ac+bd$. По условию, $X$ делится на $a+b$. Нам нужно доказать, что $Y$ также делится на $a+b$.

Рассмотрим сумму выражений $X$ и $Y$:

$X + Y = (ad+bc) + (ac+bd) = ad+bc+ac+bd$

Как было показано в пункте б), это выражение равно $(a+b)(c+d)$.

Итак, мы имеем равенство: $X+Y = (a+b)(c+d)$.

Выразим из него $Y$: $Y = (a+b)(c+d) - X$.

По условию, $X$ делится на $a+b$. Это означает, что $X$ можно представить в виде $X = k(a+b)$, где $k$ — некоторое целое число. Слагаемое $(a+b)(c+d)$ также очевидно делится на $a+b$. Поскольку разность двух выражений, каждое из которых делится на $a+b$, тоже делится на $a+b$, то и $Y$ делится на $a+b$.

$Y = (a+b)(c+d) - k(a+b) = (a+b)(c+d-k)$.

Это доказывает, что $Y$ (то есть $ac+bd$) делится на $a+b$.

Ответ: Утверждение верно.

г)

Это утверждение является логическим следствием пункта в). Докажем его методом от противного.

Пусть $X = ad+bc$ и $Y = ac+bd$. Мы знаем из предыдущих пунктов, что $X+Y = (a+b)(c+d)$.

По условию, $X$ не делится на $a+b$. Нам нужно доказать, что $Y$ тоже не делится на $a+b$.

Предположим обратное: пусть $Y$ делится на $a+b$. Это означает, что $Y = k(a+b)$ для некоторого целого числа $k$.

Рассмотрим выражение для $X$: $X = (a+b)(c+d) - Y$.

Подставим сюда наше предположение для $Y$:

$X = (a+b)(c+d) - k(a+b)$

Вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки:

$X = (a+b)(c+d-k)$

Из этого равенства следует, что $X$ делится на $a+b$. Но это прямо противоречит условию задачи, согласно которому $ad+bc$ (то есть $X$) не делится на $a+b$.

Следовательно, наше предположение было неверным. Значит, $ac+bd$ не может делиться на $a+b$.

Ответ: Утверждение верно.

1.10. Объясните, почему не существует натуральных чисел $a$ и $b$ таких, что:

a) $152a + 134b = 12345$;

б) $150a + 135b = 1234$.

а)

Рассмотрим уравнение $152a + 134b = 12345$, где $a$ и $b$ — натуральные числа.

Проанализируем левую часть уравнения: $152a + 134b$.

Число $152$ является четным. Следовательно, произведение $152a$ будет четным числом для любого натурального $a$.

Число $134$ также является четным. Следовательно, произведение $134b$ будет четным числом для любого натурального $b$.

Сумма двух четных чисел ($152a$ и $134b$) всегда является четным числом. Таким образом, вся левая часть уравнения, $152a + 134b$, является четным числом.

Теперь рассмотрим правую часть уравнения: $12345$.

Это число оканчивается на цифру 5, а значит, является нечетным.

В итоге мы приходим к противоречию: четное число ($152a + 134b$) должно быть равно нечетному числу ($12345$), что невозможно. Следовательно, не существует таких натуральных чисел $a$ и $b$, которые удовлетворяли бы данному уравнению.

Ответ: Левая часть уравнения ($152a + 134b$) всегда является четным числом, так как представляет собой сумму двух четных слагаемых, в то время как правая часть ($12345$) является нечетным числом. Равенство между четным и нечетным числом невозможно.

б)

Рассмотрим уравнение $150a + 135b = 1234$, где $a$ и $b$ — натуральные числа.

Проанализируем левую часть уравнения, $150a + 135b$, на предмет делимости на 5.

Число $150$ оканчивается на 0, следовательно, оно делится на 5. Значит, произведение $150a$ также будет делиться на 5 для любого натурального $a$.

Число $135$ оканчивается на 5, следовательно, оно тоже делится на 5. Значит, произведение $135b$ будет делиться на 5 для любого натурального $b$.

Сумма двух чисел, каждое из которых делится на 5 ($150a$ и $135b$), также всегда делится на 5. Таким образом, вся левая часть уравнения, $150a + 135b$, должна быть кратна 5.

Теперь рассмотрим правую часть уравнения: $1234$.

Число делится на 5 только в том случае, если его последняя цифра — 0 или 5. Последняя цифра числа $1234$ — это 4. Следовательно, $1234$ не делится на 5.

Мы снова приходим к противоречию: число, кратное 5 ($150a + 135b$), должно быть равно числу, не кратному 5 ($1234$), что невозможно. Следовательно, не существует таких натуральных чисел $a$ и $b$, которые удовлетворяли бы данному уравнению.

Ответ: Левая часть уравнения ($150a + 135b$) всегда делится на 5, так как оба слагаемых ($150a$ и $135b$) делятся на 5, в то время как правая часть ($1234$) на 5 не делится. Равенство невозможно.

1.11. Найдите все натуральные числа x и y такие, что:

a) $7x + 12y = 50;$

б) $11x + 18y = 98;$

в) $5x - y = 17;$

г) $5x - 11y = 137.$

а)

Дано уравнение $7x + 12y = 50$, где $x$ и $y$ — натуральные числа ($x \ge 1, y \ge 1$).

Поскольку $x$ и $y$ — положительные числа, мы можем оценить их возможные значения. Из уравнения следует, что $12y < 50$ и $7x < 50$.

Из $12y < 50$ получаем $y < \frac{50}{12} \approx 4.16$. Следовательно, $y$ может принимать значения $1, 2, 3, 4$.

Из $7x < 50$ получаем $x < \frac{50}{7} \approx 7.14$. Следовательно, $x$ может принимать значения $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$.

Проверим возможные значения для $y$, так как их диапазон меньше. Выразим $x$ через $y$: $7x = 50 - 12y$.

- Если $y = 1$, то $7x = 50 - 12 = 38$. $x = \frac{38}{7}$, не является натуральным числом.

- Если $y = 2$, то $7x = 50 - 24 = 26$. $x = \frac{26}{7}$, не является натуральным числом.

- Если $y = 3$, то $7x = 50 - 36 = 14$. $x = \frac{14}{7} = 2$. Это натуральное число. Таким образом, пара $(2, 3)$ является решением.

- Если $y = 4$, то $7x = 50 - 48 = 2$. $x = \frac{2}{7}$, не является натуральным числом.

Таким образом, существует единственное решение в натуральных числах.

Ответ: $x=2, y=3$.

б)

Дано уравнение $11x + 18y = 98$, где $x, y$ — натуральные числа.

Так как $x \ge 1$ и $y \ge 1$, то $11x \ge 11$ и $18y \ge 18$.

В уравнении $11x + 18y = 98$ слагаемые $18y$ и $98$ являются четными числами. Следовательно, $11x$ также должно быть четным. Поскольку 11 — нечетное число, $x$ должен быть четным.

Также, из $11x = 98 - 18y$ следует, что $11x < 98$, то есть $x < \frac{98}{11} \approx 8.9$.

Учитывая, что $x$ — четное натуральное число, возможные значения для $x$: $2, 4, 6, 8$.

Подставим эти значения в уравнение:

- Если $x=2$, то $11(2) + 18y = 98 \implies 22 + 18y = 98 \implies 18y = 76$. $y = \frac{76}{18}$, не натуральное число.

- Если $x=4$, то $11(4) + 18y = 98 \implies 44 + 18y = 98 \implies 18y = 54 \implies y = 3$. Это натуральное число. Пара $(4, 3)$ является решением.

- Если $x=6$, то $11(6) + 18y = 98 \implies 66 + 18y = 98 \implies 18y = 32$. $y = \frac{32}{18}$, не натуральное число.

- Если $x=8$, то $11(8) + 18y = 98 \implies 88 + 18y = 98 \implies 18y = 10$. $y = \frac{10}{18}$, не натуральное число.

Следовательно, существует только одно решение в натуральных числах.

Ответ: $x=4, y=3$.

в)

Дано уравнение $5x - y = 17$, где $x, y$ — натуральные числа.

Выразим $y$ через $x$: $y = 5x - 17$.

По условию, $y$ должно быть натуральным числом, то есть $y \ge 1$.

Это накладывает ограничение на $x$: $5x - 17 \ge 1 \implies 5x \ge 18 \implies x \ge \frac{18}{5} = 3.6$.

Так как $x$ также является натуральным числом, наименьшее возможное значение для $x$ — это 4. Таким образом, $x$ может быть любым натуральным числом, большим или равным 4.

Для любого такого $x$ мы получаем соответствующее натуральное значение $y$. Например: при $x=4$, $y=5(4)-17=3$; при $x=5$, $y=5(5)-17=8$; при $x=6$, $y=5(6)-17=13$. Уравнение имеет бесконечное множество решений.

Ответ: все пары натуральных чисел $(x, y)$ вида $(x, 5x-17)$, где $x$ — любое натуральное число, такое что $x \ge 4$.

г)

Дано уравнение $5x - 11y = 137$ в натуральных числах $x, y$.

Из уравнения следует $5x = 137 + 11y$. Это означает, что $137 + 11y$ должно делиться на 5. Рассмотрим это выражение по модулю 5:

$137 + 11y \equiv 0 \pmod 5$.

Так как $137 = 5 \cdot 27 + 2 \equiv 2 \pmod 5$ и $11 = 5 \cdot 2 + 1 \equiv 1 \pmod 5$, получаем:

$2 + 1 \cdot y \equiv 0 \pmod 5 \implies y \equiv -2 \pmod 5 \implies y \equiv 3 \pmod 5$.

Это значит, что $y$ можно представить в виде $y = 5k + 3$ для некоторого целого числа $k$.

Поскольку $y$ — натуральное число, $y \ge 1$. Отсюда $5k + 3 \ge 1 \implies 5k \ge -2 \implies k \ge -0.4$. Так как $k$ — целое, $k$ может быть любым целым неотрицательным числом ($k \ge 0$).

Подставим выражение для $y$ в исходное уравнение, чтобы найти $x$:

$5x - 11(5k + 3) = 137$

$5x - 55k - 33 = 137$

$5x = 170 + 55k$

Разделив обе части на 5, получим: $x = 34 + 11k$.

При $k \ge 0$, значение $x = 34 + 11k$ всегда будет натуральным числом (наименьшее значение $x=34$ при $k=0$).

Таким образом, все решения в натуральных числах задаются парой формул для $x$ и $y$ через параметр $k$.

Ответ: все пары натуральных чисел $(x, y)$ вида $(34 + 11k, 3 + 5k)$, где $k$ — любое целое неотрицательное число ($k \ge 0$).

1.12. Докажите, что:

а) $72^3 + 34^3$ делится на 106;

б) $(1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 181^3 + 182^3)$ делится на 183;

в) $18^3 + 26^3$ делится на 176;

г) $(2^3 + 3^3 + \dots + 196^3 + 197^3)$ делится на 199.

а) Для доказательства делимости выражения $72^3 + 34^3$ на 106 воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

В нашем случае $a=72$ и $b=34$. Подставим эти значения в формулу:

$72^3 + 34^3 = (72+34)(72^2 - 72 \cdot 34 + 34^2)$

Вычислим сумму в первых скобках: $72 + 34 = 106$.

Тогда выражение принимает вид:

$72^3 + 34^3 = 106 \cdot (72^2 - 72 \cdot 34 + 34^2)$

Поскольку один из множителей равен 106, а второй множитель $(72^2 - 72 \cdot 34 + 34^2)$ является целым числом, все произведение делится на 106 без остатка.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Требуется доказать, что сумма $S = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + 181^3 + 182^3$ делится на 183.

Воспользуемся формулой для суммы кубов первых $n$ натуральных чисел: $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$.

В данном случае $n = 182$. Подставим это значение в формулу:

$S = \left(\frac{182(182+1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{182 \cdot 183}{2}\right)^2$

Упростим выражение в скобках:

$S = (91 \cdot 183)^2 = 91^2 \cdot 183^2$

Полученное выражение является произведением, где один из множителей — $183^2$. Следовательно, вся сумма $S$ делится на 183.

Ответ: Утверждение доказано.

в) Докажем, что $18^3 + 26^3$ делится на 176. Снова применим формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Здесь $a=18$ и $b=26$.

$18^3 + 26^3 = (18+26)(18^2 - 18 \cdot 26 + 26^2) = 44 \cdot (18^2 - 18 \cdot 26 + 26^2)$

Мы видим, что выражение делится на 44. Чтобы доказать делимость на 176, нужно показать, что второй множитель $(18^2 - 18 \cdot 26 + 26^2)$ делится на $176 \div 44 = 4$.

Рассмотрим второй множитель. Так как 18 и 26 — четные числа, то $18 = 2 \cdot 9$ и $26 = 2 \cdot 13$.

Тогда $18^2 = (2 \cdot 9)^2 = 4 \cdot 81$, это число делится на 4.

$26^2 = (2 \cdot 13)^2 = 4 \cdot 169$, это число также делится на 4.

$18 \cdot 26 = (2 \cdot 9) \cdot (2 \cdot 13) = 4 \cdot 117$, и это произведение делится на 4.

Поскольку каждый член выражения $(18^2 - 18 \cdot 26 + 26^2)$ делится на 4, то и вся скобка делится на 4.

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде $44 \cdot (4k)$, где $k$ — целое число. $44 \cdot 4k = 176k$. Это означает, что $18^3 + 26^3$ делится на 176.

Ответ: Утверждение доказано.

г) Нужно доказать, что сумма $S = 2^3 + 3^3 + ... + 196^3 + 197^3$ делится на 199.

Количество слагаемых в сумме равно $197 - 2 + 1 = 196$. Это четное число, поэтому мы можем сгруппировать слагаемые в пары.

Сгруппируем первое слагаемое с последним, второе с предпоследним и так далее:

$S = (2^3 + 197^3) + (3^3 + 196^3) + ...$

Рассмотрим общую пару вида $k^3 + (199-k)^3$. Применим к ней формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$:

$k^3 + (199-k)^3 = (k + (199-k))(k^2 - k(199-k) + (199-k)^2)$

$k^3 + (199-k)^3 = 199 \cdot (k^2 - k(199-k) + (199-k)^2)$

Каждая такая пара содержит множитель 199, а значит, делится на 199.

В нашей сумме все слагаемые разбиваются на такие пары. Первая пара: $2^3 + 197^3$ (здесь $k=2$). Вторая пара: $3^3 + 196^3$ (здесь $k=3$). Последняя пара будет $(99^3 + 100^3)$ (здесь $k=99$, а $199-99=100$).

Так как вся сумма $S$ состоит из слагаемых, каждое из которых делится на 199, то и сама сумма делится на 199.

Ответ: Утверждение доказано.

1.13. a) Число $14a + 11b$ не делится на 5; докажите, что и $9a + b$ не делится на 5.

б) Число $17a + 29b$ не делится на 13; докажите, что и $4a + 3b$ не делится на 13.

а) Докажем утверждение методом от противного. Предположим, что число $9a + b$ делится на 5. Это означает, что существует такое целое число $k$, что $9a + b = 5k$.

Выразим из этого равенства $b$:
$b = 5k - 9a$

Теперь подставим это выражение для $b$ в исходное выражение $14a + 11b$, которое по условию не делится на 5:
$14a + 11(5k - 9a) = 14a + 55k - 99a = (14a - 99a) + 55k = -85a + 55k$

Вынесем общий множитель 5 за скобки:
$5(-17a + 11k)$

Так как $a$ и $k$ — целые числа, то выражение в скобках $(-17a + 11k)$ также является целым числом. Следовательно, число $5(-17a + 11k)$ делится на 5.Мы получили, что если $9a + b$ делится на 5, то и $14a + 11b$ тоже делится на 5. Но это противоречит условию задачи, согласно которому $14a + 11b$ не делится на 5.Наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: число $9a + b$ не делится на 5, что и требовалось доказать.

б) Докажем это утверждение также методом от противного. Предположим, что число $4a + 3b$ делится на 13. Это означает, что существует такое целое число $k$, что $4a + 3b = 13k$.

Теперь рассмотрим выражение $17a + 29b$. Постараемся выразить его через $4a + 3b$ и слагаемые, кратные 13. Для этого преобразуем коэффициенты при $a$ и $b$:
$17a = 13a + 4a$
$29b = 26b + 3b = 2 \cdot 13b + 3b$

Подставим эти преобразованные части обратно в выражение:
$17a + 29b = (13a + 4a) + (26b + 3b)$

Сгруппируем слагаемые:
$(13a + 26b) + (4a + 3b)$

Вынесем общий множитель 13 из первой скобки:
$13(a + 2b) + (4a + 3b)$

Мы предположили, что $4a + 3b$ делится на 13. Первое слагаемое, $13(a + 2b)$, очевидно, тоже делится на 13. Сумма двух чисел, делящихся на 13, также делится на 13. Следовательно, всё выражение $17a + 29b$ должно делиться на 13.Однако это противоречит условию задачи, в котором сказано, что число $17a + 29b$ не делится на 13.Это означает, что наше исходное предположение неверно.

Ответ: число $4a + 3b$ не делится на 13, что и требовалось доказать.