Страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1.49. Найдите НОД и НОК чисел:

а) $2^{32} \cdot 3^4 \cdot 11^{31}$ и $2^{23} \cdot 3^7 \cdot 11^{14}$;

б) $4^{24} \cdot 6^{14} \cdot 9^8$ и $8^{18} \cdot 10^{17} \cdot 12^{16}$.

а)

Пусть даны два числа: $A = 2^{32} \cdot 3^4 \cdot 11^{31}$ и $B = 2^{23} \cdot 3^7 \cdot 11^{14}$. Оба числа уже представлены в виде разложения на простые множители.

Для нахождения Наибольшего Общего Делителя (НОД) необходимо взять произведение общих простых множителей, каждый из которых возведен в наименьшую из степеней, с которой он входит в разложения данных чисел.

Общие простые множители: 2, 3, 11. Выбираем наименьшие показатели для каждого множителя: для 2: $\min(32, 23) = 23$; для 3: $\min(4, 7) = 4$; для 11: $\min(31, 14) = 14$.

Таким образом, НОД($A, B$) = $2^{23} \cdot 3^4 \cdot 11^{14}$.

Для нахождения Наименьшего Общего Кратного (НОК) необходимо взять произведение всех простых множителей, входящих в разложение хотя бы одного из чисел, причем каждый множитель берется с наибольшим из показателей, с которым он входит в разложения.

Простые множители: 2, 3, 11. Выбираем наибольшие показатели для каждого множителя: для 2: $\max(32, 23) = 32$; для 3: $\max(4, 7) = 7$; для 11: $\max(31, 14) = 31$.

Таким образом, НОК($A, B$) = $2^{32} \cdot 3^7 \cdot 11^{31}$.

Ответ: НОД = $2^{23} \cdot 3^4 \cdot 11^{14}$; НОК = $2^{32} \cdot 3^7 \cdot 11^{31}$.

б)

Пусть даны два числа: $C = 4^{24} \cdot 6^{14} \cdot 9^8$ и $D = 8^{18} \cdot 10^{17} \cdot 12^{16}$. Для нахождения НОД и НОК сначала необходимо представить эти числа в виде канонического разложения на простые множители.

Разложим первое число $C$: $C = (2^2)^{24} \cdot (2 \cdot 3)^{14} \cdot (3^2)^8 = 2^{2 \cdot 24} \cdot 2^{14} \cdot 3^{14} \cdot 3^{2 \cdot 8} = 2^{48} \cdot 2^{14} \cdot 3^{14} \cdot 3^{16} = 2^{48+14} \cdot 3^{14+16} = 2^{62} \cdot 3^{30}$.

Разложим второе число $D$: $D = (2^3)^{18} \cdot (2 \cdot 5)^{17} \cdot (2^2 \cdot 3)^{16} = 2^{3 \cdot 18} \cdot (2^{17} \cdot 5^{17}) \cdot (2^{2 \cdot 16} \cdot 3^{16}) = 2^{54} \cdot 2^{17} \cdot 5^{17} \cdot 2^{32} \cdot 3^{16} = 2^{54+17+32} \cdot 3^{16} \cdot 5^{17} = 2^{103} \cdot 3^{16} \cdot 5^{17}$.

Теперь мы имеем канонические разложения: $C = 2^{62} \cdot 3^{30}$ и $D = 2^{103} \cdot 3^{16} \cdot 5^{17}$.

Находим НОД, взяв общие множители (2 и 3) с наименьшими показателями: для 2: $\min(62, 103) = 62$; для 3: $\min(30, 16) = 16$.

НОД($C, D$) = $2^{62} \cdot 3^{16}$.

Находим НОК, взяв все множители (2, 3, 5) с наибольшими показателями: для 2: $\max(62, 103) = 103$; для 3: $\max(30, 16) = 30$; для 5: $\max(0, 17) = 17$ (в разложении числа $C$ множитель 5 можно представить как $5^0$).

НОК($C, D$) = $2^{103} \cdot 3^{30} \cdot 5^{17}$.

Ответ: НОД = $2^{62} \cdot 3^{16}$; НОК = $2^{103} \cdot 3^{30} \cdot 5^{17}$.

1.50. Составьте разложение на простые множители числа:

а) 504;

б) 8281;

в) 108 000;

г) 12321.

а) Разложим число 504 на простые множители. Для этого будем последовательно делить его на наименьшие простые числа.

1. Число 504 четное, так как оканчивается на 4. Делим его на 2:
$504 : 2 = 252$

2. Полученное число 252 также четное. Снова делим на 2:
$252 : 2 = 126$

3. Число 126 четное. Делим на 2:
$126 : 2 = 63$

4. Число 63 нечетное. Проверим делимость на 3. Сумма цифр числа $6+3=9$, 9 делится на 3, значит и 63 делится на 3:
$63 : 3 = 21$

5. Число 21 также делится на 3:
$21 : 3 = 7$

6. Число 7 является простым. Деление закончено.

Собираем все множители вместе: $504 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7$. Запишем в виде степеней: $504 = 2^3 \times 3^2 \times 7$.

Ответ: $2^3 \times 3^2 \times 7$

б) Разложим число 8281 на простые множители.

1. Число нечетное, на 2 не делится. Сумма цифр $8+2+8+1=19$, на 3 не делится. На 5 не делится. Проверим делимость на 7 (удвоенная последняя цифра вычитается из числа без последней цифры): $828 - 2 \times 1 = 826$. Повторим: $82 - 2 \times 6 = 70$. Так как 70 делится на 7, то и 8281 делится на 7.
$8281 : 7 = 1183$

2. Проверим, делится ли 1183 на 7: $118 - 2 \times 3 = 112$. Повторим: $11 - 2 \times 2 = 7$. Так как 7 делится на 7, то и 1183 делится на 7.
$1183 : 7 = 169$

3. Число 169 является квадратом простого числа 13:
$169 = 13 \times 13 = 13^2$

Собираем множители: $8281 = 7 \times 7 \times 13 \times 13$. Запишем в виде степеней: $8281 = 7^2 \times 13^2$.

Ответ: $7^2 \times 13^2$

в) Разложим число 108 000 на простые множители.

1. Представим число как произведение:
$108\;000 = 108 \times 1000$

2. Разложим каждый множитель отдельно. Начнем с 1000:
$1000 = 10^3 = (2 \times 5)^3 = 2^3 \times 5^3$

3. Теперь разложим 108:
$108 = 2 \times 54 = 2 \times 2 \times 27 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^3$

4. Объединим разложения:
$108\;000 = (2^2 \times 3^3) \times (2^3 \times 5^3)$

5. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
$108\;000 = 2^{2+3} \times 3^3 \times 5^3 = 2^5 \times 3^3 \times 5^3$

Ответ: $2^5 \times 3^3 \times 5^3$

г) Разложим число 12321 на простые множители.

1. Проверим делимость на простые числа. Число нечетное. Сумма цифр $1+2+3+2+1=9$, 9 делится на 3, значит и число делится на 3:
$12321 : 3 = 4107$

2. Проверим делимость 4107 на 3. Сумма цифр $4+1+0+7=12$, 12 делится на 3, значит и число делится на 3:
$4107 : 3 = 1369$

3. Теперь нужно разложить число 1369. Оно не делится на 2, 3, 5. Проверим следующие простые числа. Можно заметить, что число оканчивается на 9, поэтому если оно является квадратом, то его корень должен оканчиваться на 3 или 7. Проверим число 37:
$37 \times 37 = 1369$

4. Число 37 является простым.

Собираем все множители вместе: $12321 = 3 \times 3 \times 37 \times 37$. Запишем в виде степеней: $12321 = 3^2 \times 37^2$.

Ответ: $3^2 \times 37^2$

1.51. Найти число делителей числа:

а) 24;

б) 504;

в) 180;

г) 60.

Чтобы найти число делителей натурального числа, необходимо разложить это число на простые множители и затем найти произведение показателей степеней этих множителей, предварительно увеличив каждый из них на единицу. Если каноническое разложение числа $n$ на простые множители имеет вид $n = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \ldots \cdot p_m^{k_m}$, то число его натуральных делителей $\tau(n)$ вычисляется по формуле: $\tau(n) = (k_1 + 1)(k_2 + 1)\ldots(k_m + 1)$.

а) Разложим число 24 на простые множители:
$24 = 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^1$.
Показатели степеней в разложении равны 3 и 1.
Число делителей равно: $(3 + 1) \cdot (1 + 1) = 4 \cdot 2 = 8$.
Делители числа 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Всего их 8.
Ответ: 8.

б) Разложим число 504 на простые множители:
$504 = 2 \cdot 252 = 2^2 \cdot 126 = 2^3 \cdot 63 = 2^3 \cdot 3 \cdot 21 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7^1$.
Показатели степеней в разложении равны 3, 2 и 1.
Число делителей равно: $(3 + 1) \cdot (2 + 1) \cdot (1 + 1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$.
Ответ: 24.

в) Разложим число 180 на простые множители:
$180 = 10 \cdot 18 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 9) = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 3^2) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1$.
Показатели степеней в разложении равны 2, 2 и 1.
Число делителей равно: $(2 + 1) \cdot (2 + 1) \cdot (1 + 1) = 3 \cdot 3 \cdot 2 = 18$.
Ответ: 18.

г) Разложим число 60 на простые множители:
$60 = 10 \cdot 6 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 3) = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1$.
Показатели степеней в разложении равны 2, 1 и 1.
Число делителей равно: $(2 + 1) \cdot (1 + 1) \cdot (1 + 1) = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$.
Ответ: 12.

1.52. Полагают по определению, что $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n$ (символ $n!$ читают n-факториал), а $1! = 1$. С каким показателем входит число 2 в разложение на простые множители числа:

а) 10!;

б) 20!;

в) 40!;

г) 100!?

Чтобы найти, с каким показателем простое число $p$ входит в разложение числа $n!$ на простые множители, можно использовать формулу Лежандра. Эта формула утверждает, что показатель степени (экспонента) равен сумме целых частей от деления $n$ на степени $p$:

$E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor = \lfloor \frac{n}{p} \rfloor + \lfloor \frac{n}{p^2} \rfloor + \lfloor \frac{n}{p^3} \rfloor + \dots$

Здесь $\lfloor x \rfloor$ обозначает целую часть числа $x$ (наибольшее целое число, не превосходящее $x$). Суммирование продолжается до тех пор, пока $p^k \le n$, так как для больших $k$ слагаемые становятся равными нулю.

В нашей задаче мы ищем показатель для простого числа $p=2$.

а) 10!;

Найдем показатель степени двойки в разложении числа $10!$. Здесь $n=10, p=2$.

Используя формулу Лежандра, получаем:
$E_2(10!) = \lfloor \frac{10}{2} \rfloor + \lfloor \frac{10}{2^2} \rfloor + \lfloor \frac{10}{2^3} \rfloor + \lfloor \frac{10}{2^4} \rfloor + \dots$
$= \lfloor \frac{10}{2} \rfloor + \lfloor \frac{10}{4} \rfloor + \lfloor \frac{10}{8} \rfloor + 0 + \dots$
$= 5 + 2 + 1 = 8$.

Ответ: 8

б) 20!;

Найдем показатель степени двойки в разложении числа $20!$. Здесь $n=20, p=2$.

Вычисление по формуле Лежандра:
$E_2(20!) = \lfloor \frac{20}{2} \rfloor + \lfloor \frac{20}{4} \rfloor + \lfloor \frac{20}{8} \rfloor + \lfloor \frac{20}{16} \rfloor + \lfloor \frac{20}{32} \rfloor + \dots$
$= 10 + 5 + 2 + 1 + 0 + \dots$
$= 18$.

Ответ: 18

в) 40!;

Найдем показатель степени двойки в разложении числа $40!$. Здесь $n=40, p=2$.

Вычисление по формуле Лежандра:
$E_2(40!) = \lfloor \frac{40}{2} \rfloor + \lfloor \frac{40}{4} \rfloor + \lfloor \frac{40}{8} \rfloor + \lfloor \frac{40}{16} \rfloor + \lfloor \frac{40}{32} \rfloor + \lfloor \frac{40}{64} \rfloor + \dots$
$= 20 + 10 + 5 + 2 + 1 + 0 + \dots$
$= 38$.

Ответ: 38

г) 100!?

Найдем показатель степени двойки в разложении числа $100!$. Здесь $n=100, p=2$.

Вычисление по формуле Лежандра:
$E_2(100!) = \lfloor \frac{100}{2} \rfloor + \lfloor \frac{100}{4} \rfloor + \lfloor \frac{100}{8} \rfloor + \lfloor \frac{100}{16} \rfloor + \lfloor \frac{100}{32} \rfloor + \lfloor \frac{100}{64} \rfloor + \lfloor \frac{100}{128} \rfloor + \dots$
$= 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 + 0 + \dots$
$= 97$.

Ответ: 97

1.53. С каким показателем входит число 5 в разложение на простые множители числа:

а) $10!$;

б) $20!$;

в) $40!$;

г) $100!?$

Чтобы найти, с каким показателем простое число $p$ входит в разложение на простые множители числа $n!$, можно воспользоваться формулой Лежандра:

$E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor = \lfloor \frac{n}{p} \rfloor + \lfloor \frac{n}{p^2} \rfloor + \lfloor \frac{n}{p^3} \rfloor + \dots$

где $\lfloor x \rfloor$ — целая часть числа $x$ (наибольшее целое число, не превосходящее $x$). В данной задаче мы ищем показатель для простого числа $p=5$.

а) 10!

Для нахождения показателя, с которым число 5 входит в разложение $10!$, применим формулу Лежандра для $n=10$ и $p=5$:

$E_5(10!) = \lfloor \frac{10}{5} \rfloor + \lfloor \frac{10}{25} \rfloor + \dots$

Вычисляем слагаемые:

$\lfloor \frac{10}{5} \rfloor = \lfloor 2 \rfloor = 2$

$\lfloor \frac{10}{25} \rfloor = \lfloor 0.4 \rfloor = 0$

Поскольку $5^2 > 10$, все последующие слагаемые в сумме будут равны нулю. Таким образом, искомый показатель равен:

$E_5(10!) = 2 + 0 = 2$

Ответ: 2

б) 20!

Применяем формулу Лежандра для $n=20$ и $p=5$:

$E_5(20!) = \lfloor \frac{20}{5} \rfloor + \lfloor \frac{20}{25} \rfloor + \dots$

Вычисляем слагаемые:

$\lfloor \frac{20}{5} \rfloor = \lfloor 4 \rfloor = 4$

$\lfloor \frac{20}{25} \rfloor = \lfloor 0.8 \rfloor = 0$

Суммируя, получаем:

$E_5(20!) = 4 + 0 = 4$

Ответ: 4

в) 40!

Применяем формулу Лежандра для $n=40$ и $p=5$:

$E_5(40!) = \lfloor \frac{40}{5} \rfloor + \lfloor \frac{40}{25} \rfloor + \lfloor \frac{40}{125} \rfloor + \dots$

Вычисляем слагаемые:

$\lfloor \frac{40}{5} \rfloor = \lfloor 8 \rfloor = 8$

$\lfloor \frac{40}{25} \rfloor = \lfloor 1.6 \rfloor = 1$

$\lfloor \frac{40}{125} \rfloor = \lfloor 0.32 \rfloor = 0$

Суммируя, получаем:

$E_5(40!) = 8 + 1 + 0 = 9$

Ответ: 9

г) 100!

Применяем формулу Лежандра для $n=100$ и $p=5$:

$E_5(100!) = \lfloor \frac{100}{5} \rfloor + \lfloor \frac{100}{25} \rfloor + \lfloor \frac{100}{125} \rfloor + \dots$

Вычисляем слагаемые:

$\lfloor \frac{100}{5} \rfloor = \lfloor 20 \rfloor = 20$

$\lfloor \frac{100}{25} \rfloor = \lfloor 4 \rfloor = 4$

$\lfloor \frac{100}{125} \rfloor = \lfloor 0.8 \rfloor = 0$

Суммируя, получаем:

$E_5(100!) = 20 + 4 + 0 = 24$

Ответ: 24

1.54. Сколькими нулями оканчивается число:

а) $10!$;

б) $20!$;

в) $40!$;

г) $100!$?

Для определения количества нулей, которыми оканчивается число $n!$ (n-факториал), необходимо найти, сколько раз число 10 входит в него как множитель. Поскольку $10 = 2 \times 5$, а в разложении факториала на простые множители двоек всегда больше, чем пятерок, количество нулей определяется исключительно количеством множителей 5.

Чтобы найти количество множителей 5 в разложении числа $n!$, можно воспользоваться формулой Лежандра, которая подсчитывает сумму целых частей от деления $n$ на степени пятерки ($5, 25, 125, \dots$):
Количество нулей = $\lfloor \frac{n}{5} \rfloor + \lfloor \frac{n}{25} \rfloor + \lfloor \frac{n}{125} \rfloor + \dots$

а) 10!

Применим формулу для $n=10$:
Количество множителей 5 = $\lfloor \frac{10}{5} \rfloor + \lfloor \frac{10}{25} \rfloor + \dots$
$\lfloor \frac{10}{5} \rfloor = 2$ (числа 5 и 10).
$\lfloor \frac{10}{25} \rfloor = 0$ (так как $25 > 10$).
Складываем полученные значения: $2 + 0 = 2$.
Таким образом, число $10!$ оканчивается двумя нулями.
Ответ: 2.

б) 20!

Применим формулу для $n=20$:
Количество множителей 5 = $\lfloor \frac{20}{5} \rfloor + \lfloor \frac{20}{25} \rfloor + \dots$
$\lfloor \frac{20}{5} \rfloor = 4$ (числа 5, 10, 15, 20).
$\lfloor \frac{20}{25} \rfloor = 0$ (так как $25 > 20$).
Складываем полученные значения: $4 + 0 = 4$.
Таким образом, число $20!$ оканчивается четырьмя нулями.
Ответ: 4.

в) 40!

Применим формулу для $n=40$:
Количество множителей 5 = $\lfloor \frac{40}{5} \rfloor + \lfloor \frac{40}{25} \rfloor + \lfloor \frac{40}{125} \rfloor + \dots$
$\lfloor \frac{40}{5} \rfloor = 8$ (это числа, кратные 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40).
$\lfloor \frac{40}{25} \rfloor = 1$ (это число 25, которое содержит дополнительный множитель 5, так как $25 = 5 \times 5$).
$\lfloor \frac{40}{125} \rfloor = 0$ (так как $125 > 40$).
Складываем полученные значения: $8 + 1 = 9$.
Таким образом, число $40!$ оканчивается девятью нулями.
Ответ: 9.

г) 100!

Применим формулу для $n=100$:
Количество множителей 5 = $\lfloor \frac{100}{5} \rfloor + \lfloor \frac{100}{25} \rfloor + \lfloor \frac{100}{125} \rfloor + \dots$
$\lfloor \frac{100}{5} \rfloor = 20$ (количество чисел, кратных 5).
$\lfloor \frac{100}{25} \rfloor = 4$ (числа 25, 50, 75, 100, которые содержат дополнительный множитель 5).
$\lfloor \frac{100}{125} \rfloor = 0$ (так как $125 > 100$).
Складываем полученные значения: $20 + 4 = 24$.
Таким образом, число $100!$ оканчивается двадцатью четырьмя нулями.
Ответ: 24.

1.55. Не пользуясь калькулятором, определите, является ли данное число квадратом или кубом некоторого натурального числа:

а) 75 625;

б) 614 656;

в) 31 104;

г) 216 000.

а) 75 625;

Чтобы определить, является ли данное число квадратом или кубом, проанализируем его свойства.

1. Проверка на квадрат. Число оканчивается на 5. Если натуральное число является полным квадратом и оканчивается на 5, то его корень также должен оканчиваться на 5, а само число — на 25. Данное число 75625 оканчивается на 25, что соответствует признаку. Число, стоящее перед 25, равно 756. Согласно свойству, оно должно быть произведением двух последовательных натуральных чисел, то есть иметь вид $n(n+1)$.

Проверим, существует ли такое натуральное $n$, что $n(n+1) = 756$. Так как $n^2 < n(n+1)$, то $n < \sqrt{756}$. Оценим корень: $20^2 = 400$, $30^2 = 900$. Значит, $n$ находится между 20 и 30. Проверим число, близкое к $\sqrt{756}$: $27^2 = 729$. Попробуем $n=27$. $27 \times (27+1) = 27 \times 28 = 756$. Условие выполняется. Следовательно, исходное число является квадратом числа, которое состоит из цифр $n=27$ и последней цифры 5. То есть, это квадрат числа 275. $75625 = 275^2$.

2. Проверка на куб. Если число является кубом и оканчивается на 5, то его корень также должен оканчиваться на 5. Оценим величину корня: $40^3 = 64000$, $50^3 = 125000$. Значит, если корень существует, он должен быть между 40 и 50 и оканчиваться на 5, то есть это 45. Проверим: $45^3 = 45 \times 45^2 = 45 \times 2025 = 91125$. Поскольку $91125 \neq 75625$, число не является кубом.

Ответ: является квадратом натурального числа ($275^2$).

б) 614 656;

1. Проверка на квадрат. Число оканчивается на 6. Если натуральное число является полным квадратом и оканчивается на 6, то его корень должен оканчиваться на 4 или 6. Оценим величину корня: $700^2 = 490000$, $800^2 = 640000$. Корень находится между 700 и 800, и ближе к 800. Проверим числа, оканчивающиеся на 4 или 6, которые меньше 800, например 784 или 786. Число 614656 немного больше, чем $780^2 = 608400$. Проверим $784^2$: $784^2 = (780 + 4)^2 = 780^2 + 2 \times 780 \times 4 + 4^2 = 608400 + 6240 + 16 = 614656$. Таким образом, $614656 = 784^2$.

2. Проверка на куб. Если число является кубом и оканчивается на 6, то его корень также должен оканчиваться на 6. Оценим величину корня: $80^3 = 512000$, $90^3 = 729000$. Если корень существует, он должен быть между 80 и 90 и оканчиваться на 6. Единственный кандидат — 86. Проверим: $86^3 = 86 \times 86^2 = 86 \times 7396 = 636056$. Поскольку $636056 \neq 614656$, число не является кубом.

Ответ: является квадратом натурального числа ($784^2$).

в) 31 104;

Для точного определения разложим число на простые множители. $31104 = 2 \times 15552 = 2^2 \times 7776 = 2^3 \times 3888 = 2^4 \times 1944 = 2^5 \times 972 = 2^6 \times 486 = 2^7 \times 243$. Теперь разложим 243. Сумма цифр $2+4+3=9$, значит, число делится на 9. $243 = 3 \times 81 = 3 \times 3^4 = 3^5$. Таким образом, разложение на простые множители имеет вид: $31104 = 2^7 \times 3^5$.

1. Проверка на квадрат. Чтобы число было полным квадратом, все показатели степеней в его разложении на простые множители должны быть четными. В данном случае показатели 7 и 5 — нечетные числа. Следовательно, число не является квадратом.

2. Проверка на куб. Чтобы число было полным кубом, все показатели степеней в его разложении должны быть кратны 3. Показатели 7 и 5 не делятся на 3. Следовательно, число не является кубом.

Ответ: не является ни квадратом, ни кубом натурального числа.

г) 216 000;

Представим число в виде произведения: $216000 = 216 \times 1000$.

1. Проверка на куб. Проанализируем каждый множитель: $216 = 6 \times 6 \times 6 = 6^3$. $1000 = 10 \times 10 \times 10 = 10^3$. Тогда их произведение также является кубом: $216000 = 216 \times 1000 = 6^3 \times 10^3 = (6 \times 10)^3 = 60^3$. Следовательно, число является кубом натурального числа 60.

2. Проверка на квадрат. Полный квадрат не может оканчиваться на нечетное число нулей. Число 216 000 оканчивается на три нуля, поэтому оно не может быть квадратом натурального числа. Более строго, разложим на простые множители: $216000 = 6^3 \times 10^3 = (2 \times 3)^3 \times (2 \times 5)^3 = 2^3 \times 3^3 \times 2^3 \times 5^3 = 2^6 \times 3^3 \times 5^3$. Для полного квадрата все показатели степеней должны быть четными. Показатели 3 у простых множителей 3 и 5 — нечетные, значит, число не является квадратом.

Ответ: является кубом натурального числа ($60^3$).

1.56. Сколько делителей имеет данное число:

a) $315$;
б) $9450$;
в) $250000$;
г) $623700$?

Чтобы найти количество делителей числа, необходимо сначала разложить это число на простые множители. Если каноническое разложение числа $N$ на простые множители имеет вид $N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \dots \cdot p_k^{a_k}$, где $p_i$ – простые числа, а $a_i$ – их степени, то количество натуральных делителей числа $N$ вычисляется по формуле: $\tau(N) = (a_1 + 1)(a_2 + 1)\dots(a_k + 1)$.

а)

Найдем количество делителей числа 315.

1. Разложим число 315 на простые множители:
$315 | 3$
$105 | 3$
$35 | 5$
$7 | 7$
$1$

Таким образом, каноническое разложение числа 315: $315 = 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1$.

2. Степени простых множителей: $a_1 = 2$, $a_2 = 1$, $a_3 = 1$.

3. Вычислим количество делителей по формуле:
$\tau(315) = (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$.

Ответ: 12

б)

Найдем количество делителей числа 9450.

1. Разложим число 9450 на простые множители:
$9450 = 945 \cdot 10 = 945 \cdot 2 \cdot 5$.
Разложим 945:
$945 | 3$
$315 | 3$
$105 | 3$
$35 | 5$
$7 | 7$
$1$
Значит, $945 = 3^3 \cdot 5 \cdot 7$.

Таким образом, каноническое разложение числа 9450: $9450 = 2^1 \cdot 3^3 \cdot 5^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1 = 2^1 \cdot 3^3 \cdot 5^2 \cdot 7^1$.

2. Степени простых множителей: $a_1 = 1$, $a_2 = 3$, $a_3 = 2$, $a_4 = 1$.

3. Вычислим количество делителей по формуле:
$\tau(9450) = (1 + 1)(3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 48$.

Ответ: 48

в)

Найдем количество делителей числа 250 000.

1. Представим число в виде произведения:
$250 000 = 25 \cdot 10000 = 25 \cdot 10^4$.

2. Разложим множители на простые числа:
$25 = 5^2$
$10 = 2 \cdot 5$, следовательно $10^4 = (2 \cdot 5)^4 = 2^4 \cdot 5^4$.

3. Получим каноническое разложение:
$250 000 = 5^2 \cdot 2^4 \cdot 5^4 = 2^4 \cdot 5^{2+4} = 2^4 \cdot 5^6$.

4. Степени простых множителей: $a_1 = 4$, $a_2 = 6$.

5. Вычислим количество делителей по формуле:
$\tau(250 000) = (4 + 1)(6 + 1) = 5 \cdot 7 = 35$.

Ответ: 35

г)

Найдем количество делителей числа 623 700.

1. Представим число в виде произведения:
$623 700 = 6237 \cdot 100 = 6237 \cdot 10^2 = 6237 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 6237 \cdot 2^2 \cdot 5^2$.

2. Разложим на множители число 6237. Сумма его цифр $6+2+3+7=18$ делится на 9, значит, и само число делится на 9.
$6237 \div 9 = 693$.
Сумма цифр числа 693 ($6+9+3=18$) также делится на 9.
$693 \div 9 = 77$.
Число 77 раскладывается на $7 \cdot 11$.
Следовательно, $6237 = 9 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 11 = 3^2 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 11 = 3^4 \cdot 7^1 \cdot 11^1$.

3. Получим каноническое разложение:
$623 700 = (3^4 \cdot 7^1 \cdot 11^1) \cdot 2^2 \cdot 5^2 = 2^2 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7^1 \cdot 11^1$.

4. Степени простых множителей: $a_1 = 2$, $a_2 = 4$, $a_3 = 2$, $a_4 = 1$, $a_5 = 1$.

5. Вычислим количество делителей по формуле:
$\tau(623 700) = (2 + 1)(4 + 1)(2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 3 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 180$.

Ответ: 180

Найдите все пары целых чисел $(x; y)$, удовлетворяющих уравнению:

1.57. a) $2y - x = 15;$

б) $6x - y = 25;$

в) $7x + 4y = 123;$

г) $5x - 7y = 23.$

а) 2y - x = 15;

Это линейное диофантово уравнение. Проще всего выразить одну переменную через другую. Выразим $x$ через $y$:

$x = 2y - 15$

Поскольку $x$ и $y$ должны быть целыми числами, мы видим, что для любого целого значения $y$ значение $x$ также будет целым. Мы можем задать все решения, используя целочисленный параметр. Пусть $y = n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Тогда $x = 2n - 15$.

Таким образом, все пары целых чисел $(x; y)$, удовлетворяющие данному уравнению, имеют вид $(2n - 15; n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(2n - 15; n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) 6x - y = 25;

Аналогично предыдущему пункту, выразим $y$ через $x$:

$y = 6x - 25$

Для любого целого значения $x$ значение $y$ также будет целым. Пусть $x = n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Тогда $y = 6n - 25$.

Следовательно, все решения можно записать в виде пар $(n; 6n - 25)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(n; 6n - 25)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

в) 7x + 4y = 123;

Это линейное диофантово уравнение вида $ax + by = c$. Так как наибольший общий делитель коэффициентов при $x$ и $y$ равен $НОД(7, 4) = 1$, а 1 делит 123, уравнение имеет решения в целых числах.

Выразим переменную с меньшим по модулю коэффициентом. В данном случае это $y$.

$4y = 123 - 7x$

$y = \frac{123 - 7x}{4}$

Чтобы $y$ был целым, выражение $123 - 7x$ должно делиться на 4. Разложим числитель для удобства:

$y = \frac{120 + 3 - (8x - x)}{4} = \frac{120 - 8x + 3 + x}{4} = 30 - 2x + \frac{3 + x}{4}$

Для того чтобы $y$ был целым, необходимо, чтобы дробь $\frac{3+x}{4}$ была целым числом. Обозначим это целое число через $n$:

$\frac{3+x}{4} = n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Отсюда выразим $x$:

$3 + x = 4n$

$x = 4n - 3$

Теперь подставим это выражение для $x$ в исходное уравнение, чтобы найти $y$:

$7(4n - 3) + 4y = 123$

$28n - 21 + 4y = 123$

$4y = 144 - 28n$

$y = 36 - 7n$

Итак, все пары целых чисел, являющиеся решениями, имеют вид $(4n - 3; 36 - 7n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(4n - 3; 36 - 7n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

г) 5x - 7y = 23;

$НОД(5, 7) = 1$, поэтому уравнение имеет решения в целых числах. Выразим $x$ через $y$:

$5x = 23 + 7y$

$x = \frac{23 + 7y}{5}$

Разложим числитель, чтобы выделить целую часть:

$x = \frac{20 + 3 + 5y + 2y}{5} = 4 + y + \frac{3 + 2y}{5}$

Чтобы $x$ был целым, выражение $\frac{3+2y}{5}$ должно быть целым числом. Пусть:

$\frac{3+2y}{5} = k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$3 + 2y = 5k$

$2y = 5k - 3$

$y = \frac{5k - 3}{2}$

Теперь мы получили новое условие: $y$ должен быть целым, значит, $5k - 3$ должно быть четным. Это равносильно тому, что $5k$ должен быть нечетным, а значит, $k$ должен быть нечетным.

Представим нечетное число $k$ в виде $k = 2n + 1$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Подставим это в выражение для $y$:

$y = \frac{5(2n + 1) - 3}{2} = \frac{10n + 5 - 3}{2} = \frac{10n + 2}{2} = 5n + 1$

Теперь найдем $x$, подставив выражения для $y$ и $k$ в формулу для $x$:

$x = 4 + y + k = 4 + (5n + 1) + (2n + 1) = 7n + 6$

Таким образом, все решения данного уравнения имеют вид $(7n + 6; 5n + 1)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(7n + 6; 5n + 1)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

1.58. a) $yx = 15$;

б) $36x^2 - y^2 = 27$;

B) $7xy + 4y^2 = 11$;

Г) $x^2 - 7xy + 6y^2 = 18$.

а) $yx = 15$

Данное уравнение является диофантовым уравнением. Для нахождения целочисленных решений $(x, y)$ необходимо, чтобы $x$ и $y$ были целыми делителями числа 15.

Целые делители числа 15: $\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$.

Рассмотрим все возможные пары целых чисел, произведение которых равно 15:

• Если $x = 1$, то $y = 15$. Пара: $(1, 15)$.
• Если $x = 3$, то $y = 5$. Пара: $(3, 5)$.
• Если $x = 5$, то $y = 3$. Пара: $(5, 3)$.
• Если $x = 15$, то $y = 1$. Пара: $(15, 1)$.
• Если $x = -1$, то $y = -15$. Пара: $(-1, -15)$.
• Если $x = -3$, то $y = -5$. Пара: $(-3, -5)$.
• Если $x = -5$, то $y = -3$. Пара: $(-5, -3)$.
• Если $x = -15$, то $y = -1$. Пара: $(-15, -1)$.

Ответ: $(1, 15), (3, 5), (5, 3), (15, 1), (-1, -15), (-3, -5), (-5, -3), (-15, -1)$.

б) $36x^2 - y^2 = 27$

Левую часть уравнения можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(6x)^2 - y^2 = 27$

$(6x - y)(6x + y) = 27$

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то выражения $(6x - y)$ и $(6x + y)$ также являются целыми числами. Их произведение равно 27, значит, они являются делителями числа 27.

Целые делители числа 27: $\pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 27$.

Обозначим $A = 6x - y$ и $B = 6x + y$. Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} 6x - y = A \\ 6x + y = B \end{cases}$

Сложив уравнения, получим: $12x = A + B \implies x = \frac{A + B}{12}$.

Вычтя первое уравнение из второго, получим: $2y = B - A \implies y = \frac{B - A}{2}$.

Для того чтобы $x$ и $y$ были целыми, необходимо, чтобы сумма $A+B$ была кратна 12, а разность $B-A$ была четной (т.е. $A$ и $B$ должны иметь одинаковую четность). Так как их произведение $AB=27$ нечетно, то $A$ и $B$ оба нечетные, и их разность всегда будет четной.

Рассмотрим все пары делителей $(A, B)$ числа 27:

• $(A, B) = (1, 27) \implies A+B = 28$. Не делится на 12.
• $(A, B) = (3, 9) \implies A+B = 12$. $x = \frac{12}{12} = 1$, $y = \frac{9-3}{2} = 3$. Решение: $(1, 3)$.
• $(A, B) = (9, 3) \implies A+B = 12$. $x = \frac{12}{12} = 1$, $y = \frac{3-9}{2} = -3$. Решение: $(1, -3)$.
• $(A, B) = (27, 1) \implies A+B = 28$. Не делится на 12.
• $(A, B) = (-1, -27) \implies A+B = -28$. Не делится на 12.
• $(A, B) = (-3, -9) \implies A+B = -12$. $x = \frac{-12}{12} = -1$, $y = \frac{-9-(-3)}{2} = -3$. Решение: $(-1, -3)$.
• $(A, B) = (-9, -3) \implies A+B = -12$. $x = \frac{-12}{12} = -1$, $y = \frac{-3-(-9)}{2} = 3$. Решение: $(-1, 3)$.
• $(A, B) = (-27, -1) \implies A+B = -28$. Не делится на 12.

Ответ: $(1, 3), (1, -3), (-1, -3), (-1, 3)$.

в) $7xy + 4y^2 = 11$

Вынесем $y$ за скобки в левой части уравнения:

$y(7x + 4y) = 11$

Так как $x$ и $y$ — целые числа, то $y$ должен быть целым делителем числа 11. Число 11 простое, его делители: $\pm 1, \pm 11$.

Рассмотрим все возможные случаи:

1. Пусть $y = 1$.
   $1 \cdot (7x + 4 \cdot 1) = 11 \implies 7x + 4 = 11 \implies 7x = 7 \implies x = 1$.
   Получаем решение: $(1, 1)$.
2. Пусть $y = -1$.
   $-1 \cdot (7x + 4 \cdot (-1)) = 11 \implies -(7x - 4) = 11 \implies 7x - 4 = -11 \implies 7x = -7 \implies x = -1$.
   Получаем решение: $(-1, -1)$.
3. Пусть $y = 11$.
   $11 \cdot (7x + 4 \cdot 11) = 11 \implies 7x + 44 = 1 \implies 7x = -43 \implies x = -43/7$.
   $x$ не является целым числом, значит, это не решение.
4. Пусть $y = -11$.
   $-11 \cdot (7x + 4 \cdot (-11)) = 11 \implies 7x - 44 = -1 \implies 7x = 43 \implies x = 43/7$.
   $x$ не является целым числом, значит, это не решение.

Ответ: $(1, 1), (-1, -1)$.

г) $x^2 - 7xy + 6y^2 = 18$

Разложим левую часть уравнения на множители. Рассматривая ее как квадратный трехчлен относительно $x$, найдем его корни:

$D = (-7y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6y^2) = 49y^2 - 24y^2 = 25y^2 = (5y)^2$

$x_{1,2} = \frac{7y \pm \sqrt{(5y)^2}}{2} = \frac{7y \pm 5y}{2}$

$x_1 = \frac{7y+5y}{2} = \frac{12y}{2} = 6y$

$x_2 = \frac{7y-5y}{2} = \frac{2y}{2} = y$

Тогда левую часть можно записать в виде $(x - x_1)(x - x_2)$, и уравнение принимает вид:

$(x - 6y)(x - y) = 18$

Обозначим $A = x - 6y$ и $B = x - y$. $A$ и $B$ — целые числа, являющиеся делителями числа 18. Составим систему:

$\begin{cases} x - 6y = A \\ x - y = B \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго: $(x - y) - (x - 6y) = B - A \implies 5y = B - A \implies y = \frac{B - A}{5}$.

Для того чтобы $y$ был целым числом, разность $B - A$ должна быть кратна 5.

Делители числа 18: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$.

Проверим все пары $(A, B)$, для которых $AB = 18$:

• $(1, 18) \implies B-A = 17$, не кратно 5.
• $(2, 9) \implies B-A = 7$, не кратно 5.
• $(3, 6) \implies B-A = 3$, не кратно 5.
• $(6, 3) \implies B-A = -3$, не кратно 5.
• $(9, 2) \implies B-A = -7$, не кратно 5.
• $(18, 1) \implies B-A = -17$, не кратно 5.
• $(-1, -18) \implies B-A = -17$, не кратно 5.
• $(-2, -9) \implies B-A = -7$, не кратно 5.
• $(-3, -6) \implies B-A = -3$, не кратно 5.
• $(-6, -3) \implies B-A = 3$, не кратно 5.
• $(-9, -2) \implies B-A = 7$, не кратно 5.
• $(-18, -1) \implies B-A = 17$, не кратно 5.

Ни в одном из случаев разность $B-A$ не делится на 5. Следовательно, данное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений в целых числах нет.

2.1. Между рациональными числами $a$ и $b$ поместите 5 рациональных чисел:

а) $a = 1,1$, $b = 1,2$;

б) $a = \frac{11}{12}$, $b = \frac{10}{11}$;

в) $a = 11,0001$, $b = 11,0002$;

г) $a = \frac{12\,221}{12\,222}$, $b = \frac{122\,221}{122\,222}$.

а) Чтобы найти 5 рациональных чисел между $a = 1,1$ и $b = 1,2$, можно представить эти числа с большим количеством знаков после запятой, что не изменит их значения. Например, запишем $a = 1,10$ и $b = 1,20$. Теперь очевидно, что между ними находится множество рациональных чисел, например, все числа от $1,11$ до $1,19$. Мы можем выбрать любые 5 из них.
Например, выберем следующие пять чисел: $1,11; 1,12; 1,13; 1,14; 1,15$.
Убедимся, что они удовлетворяют условию: $1,1 < 1,11 < 1,12 < 1,13 < 1,14 < 1,15 < 1,2$.
Ответ: $1,11; 1,12; 1,13; 1,14; 1,15$.

б) Даны числа $a = \frac{11}{12}$ и $b = \frac{10}{11}$. Для начала сравним их, приведя к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 11 и 12 это $11 \times 12 = 132$.
$a = \frac{11 \times 11}{12 \times 11} = \frac{121}{132}$
$b = \frac{10 \times 12}{11 \times 12} = \frac{120}{132}$
Отсюда видно, что $b < a$. Нам нужно найти 5 рациональных чисел в интервале $(\frac{120}{132}, \frac{121}{132})$. Между числителями 120 и 121 нет целых чисел, поэтому, чтобы найти промежуточные дроби, мы можем умножить числитель и знаменатель каждой дроби на число, которое больше или равно $5+1=6$. Умножим на 6:
$b = \frac{120 \times 6}{132 \times 6} = \frac{720}{792}$
$a = \frac{121 \times 6}{132 \times 6} = \frac{726}{792}$
Теперь легко выбрать 5 дробей, находящихся между $\frac{720}{792}$ и $\frac{726}{792}$, изменяя числитель от 721 до 725.
Ответ: $\frac{721}{792}, \frac{722}{792}, \frac{723}{792}, \frac{724}{792}, \frac{725}{792}$.

в) Для чисел $a = 11,0001$ и $b = 11,0002$ используем тот же подход, что и в пункте а). Допишем нули в конце десятичной части, чтобы увеличить "видимое" расстояние между числами: $a = 11,00010$ и $b = 11,00020$. Теперь мы ищем числа в интервале $(11,00010, 11,00020)$.
Мы можем выбрать любые 5 чисел из этого интервала, например: $11,00011; 11,00012; 11,00013; 11,00014; 11,00015$.
Проверка показывает, что $11,0001 < 11,00011 < 11,00012 < 11,00013 < 11,00014 < 11,00015 < 11,0002$.
Ответ: $11,00011; 11,00012; 11,00013; 11,00014; 11,00015$.

г) Даны числа $a = \frac{12221}{12222}$ и $b = \frac{122221}{122222}$. Для удобства сравнения и поиска промежуточных чисел, представим их в виде $1$ минус некоторая дробь:
$a = \frac{12222-1}{12222} = 1 - \frac{1}{12222}$
$b = \frac{122222-1}{122222} = 1 - \frac{1}{122222}$
Так как $12222 < 122222$, то обратные величины соотносятся как $\frac{1}{12222} > \frac{1}{122222}$. Умножив неравенство на $-1$, знак меняется: $-\frac{1}{12222} < -\frac{1}{122222}$. Прибавив 1 к обеим частям, получаем $1 - \frac{1}{12222} < 1 - \frac{1}{122222}$, то есть $a < b$.
Нам нужно найти 5 чисел $x$ в интервале $(a, b)$. Если мы представим искомые числа в виде $x = 1 - y$, то задача сведется к поиску 5 чисел $y$ таких, что $\frac{1}{122222} < y < \frac{1}{12222}$.
Мы можем выбрать числа $y$ вида $\frac{1}{N}$, где целое число $N$ удовлетворяет условию $12222 < N < 122222$.
Возьмем, например, следующие значения для $N$: $13000, 14000, 15000, 16000, 17000$.
Так как $13000 < 14000 < 15000 < 16000 < 17000$, то для обратных величин $y=\frac{1}{N}$ выполняется $\frac{1}{13000} > \frac{1}{14000} > \frac{1}{15000} > \frac{1}{16000} > \frac{1}{17000}$.
Тогда соответствующие значения $x = 1-y$ будут упорядочены по возрастанию: $1 - \frac{1}{13000} < 1 - \frac{1}{14000} < 1 - \frac{1}{15000} < 1 - \frac{1}{16000} < 1 - \frac{1}{17000}$.
Вычислим эти числа: $\frac{12999}{13000}, \frac{13999}{14000}, \frac{14999}{15000}, \frac{15999}{16000}, \frac{16999}{17000}$. Все они находятся между $a$ и $b$.
Ответ: $\frac{12999}{13000}, \frac{13999}{14000}, \frac{14999}{15000}, \frac{15999}{16000}, \frac{16999}{17000}$.