Номер 1.54, страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.54. Сколькими нулями оканчивается число:

а) $10!$;

б) $20!$;

в) $40!$;

г) $100!$?

Для определения количества нулей, которыми оканчивается число $n!$ (n-факториал), необходимо найти, сколько раз число 10 входит в него как множитель. Поскольку $10 = 2 \times 5$, а в разложении факториала на простые множители двоек всегда больше, чем пятерок, количество нулей определяется исключительно количеством множителей 5.

Чтобы найти количество множителей 5 в разложении числа $n!$, можно воспользоваться формулой Лежандра, которая подсчитывает сумму целых частей от деления $n$ на степени пятерки ($5, 25, 125, \dots$):
Количество нулей = $\lfloor \frac{n}{5} \rfloor + \lfloor \frac{n}{25} \rfloor + \lfloor \frac{n}{125} \rfloor + \dots$

а) 10!

Применим формулу для $n=10$:
Количество множителей 5 = $\lfloor \frac{10}{5} \rfloor + \lfloor \frac{10}{25} \rfloor + \dots$
$\lfloor \frac{10}{5} \rfloor = 2$ (числа 5 и 10).
$\lfloor \frac{10}{25} \rfloor = 0$ (так как $25 > 10$).
Складываем полученные значения: $2 + 0 = 2$.
Таким образом, число $10!$ оканчивается двумя нулями.
Ответ: 2.

б) 20!

Применим формулу для $n=20$:
Количество множителей 5 = $\lfloor \frac{20}{5} \rfloor + \lfloor \frac{20}{25} \rfloor + \dots$
$\lfloor \frac{20}{5} \rfloor = 4$ (числа 5, 10, 15, 20).
$\lfloor \frac{20}{25} \rfloor = 0$ (так как $25 > 20$).
Складываем полученные значения: $4 + 0 = 4$.
Таким образом, число $20!$ оканчивается четырьмя нулями.
Ответ: 4.

в) 40!

Применим формулу для $n=40$:
Количество множителей 5 = $\lfloor \frac{40}{5} \rfloor + \lfloor \frac{40}{25} \rfloor + \lfloor \frac{40}{125} \rfloor + \dots$
$\lfloor \frac{40}{5} \rfloor = 8$ (это числа, кратные 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40).
$\lfloor \frac{40}{25} \rfloor = 1$ (это число 25, которое содержит дополнительный множитель 5, так как $25 = 5 \times 5$).
$\lfloor \frac{40}{125} \rfloor = 0$ (так как $125 > 40$).
Складываем полученные значения: $8 + 1 = 9$.
Таким образом, число $40!$ оканчивается девятью нулями.
Ответ: 9.

г) 100!

Применим формулу для $n=100$:
Количество множителей 5 = $\lfloor \frac{100}{5} \rfloor + \lfloor \frac{100}{25} \rfloor + \lfloor \frac{100}{125} \rfloor + \dots$
$\lfloor \frac{100}{5} \rfloor = 20$ (количество чисел, кратных 5).
$\lfloor \frac{100}{25} \rfloor = 4$ (числа 25, 50, 75, 100, которые содержат дополнительный множитель 5).
$\lfloor \frac{100}{125} \rfloor = 0$ (так как $125 > 100$).
Складываем полученные значения: $20 + 4 = 24$.
Таким образом, число $100!$ оканчивается двадцатью четырьмя нулями.
Ответ: 24.