Номер 1.48, страница 26, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.48. Найдите НОД и НОК чисел:

а) 154 и 210;

б) 120 и 144;

в) 255 и 510;

г) 105 и 165.

а) 154 и 210

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК), разложим числа на простые множители.

Разложение числа 154 на простые множители:
$154 | 2$
$77 | 7$
$11 | 11$
$1$
Таким образом, $154 = 2 \cdot 7 \cdot 11$.

Разложение числа 210 на простые множители:
$210 | 2$
$105 | 3$
$35 | 5$
$7 | 7$
$1$
Таким образом, $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.

Для нахождения НОД выбираем общие простые множители в наименьшей степени, в которой они входят в оба разложения. Общими множителями являются 2 и 7.
$НОД(154; 210) = 2^1 \cdot 7^1 = 14$.

Для нахождения НОК выписываем все простые множители, которые входят хотя бы в одно из разложений, и берем их в наибольшей степени.
$НОК(154; 210) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 2310$.

Ответ: НОД(154; 210) = 14, НОК(154; 210) = 2310.

б) 120 и 144

Разложим числа 120 и 144 на простые множители.

Разложение числа 120:
$120 = 10 \cdot 12 = (2 \cdot 5) \cdot (2^2 \cdot 3) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$.

Разложение числа 144:
$144 = 12^2 = (2^2 \cdot 3)^2 = 2^4 \cdot 3^2$.

Для нахождения НОД берем общие простые множители (2 и 3) в наименьшей степени.
$НОД(120; 144) = 2^3 \cdot 3^1 = 8 \cdot 3 = 24$.

Для нахождения НОК берем все простые множители (2, 3 и 5) в наибольшей степени.
$НОК(120; 144) = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 = 16 \cdot 9 \cdot 5 = 144 \cdot 5 = 720$.

Ответ: НОД(120; 144) = 24, НОК(120; 144) = 720.

в) 255 и 510

Разложим числа 255 и 510 на простые множители.

Разложение числа 255:
$255 | 5$
$51 | 3$
$17 | 17$
$1$
Таким образом, $255 = 3 \cdot 5 \cdot 17$.

Разложение числа 510:
$510 = 10 \cdot 51 = (2 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 17) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 17$.

В данном случае можно заметить, что $510 = 2 \cdot 255$. Это означает, что 255 является делителем 510.

Когда одно число делится на другое, их НОД равен меньшему из чисел.
$НОД(255; 510) = 255$.

Когда одно число делится на другое, их НОК равен большему из чисел.
$НОК(255; 510) = 510$.

Ответ: НОД(255; 510) = 255, НОК(255; 510) = 510.

г) 105 и 165

Разложим числа 105 и 165 на простые множители.

Разложение числа 105:
$105 = 5 \cdot 21 = 3 \cdot 5 \cdot 7$.

Разложение числа 165:
$165 = 5 \cdot 33 = 3 \cdot 5 \cdot 11$.

Для нахождения НОД берем общие простые множители (3 и 5) в наименьшей степени.
$НОД(105; 165) = 3 \cdot 5 = 15$.

Для нахождения НОК берем все простые множители (3, 5, 7 и 11) в наибольшей степени.
$НОК(105; 165) = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 15 \cdot 77 = 1155$.

Ответ: НОД(105; 165) = 15, НОК(105; 165) = 1155.