Номер 1.43, страница 26, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.43. Число $x$ при делении на 8 даёт остаток 5. Чему может быть равен остаток от деления числа $x$:

а) на 2;

б) на 3;

в) на 4;

г) на 6?

По условию, число $x$ при делении на 8 даёт остаток 5. Это можно записать в виде формулы: $x = 8k + 5$, где $k$ — любое целое неотрицательное число ($k = 0, 1, 2, \dots$).

а) на 2;

Чтобы найти остаток от деления числа $x$ на 2, преобразуем его выражение:

$x = 8k + 5 = 8k + 4 + 1 = 2(4k + 2) + 1$.

Полученное выражение имеет вид $2q + r$, где частное $q = 4k + 2$, а остаток $r = 1$. Это означает, что для любого целого $k$ остаток от деления $x$ на 2 будет всегда равен 1.

Ответ: 1.

б) на 3;

Для нахождения остатка от деления $x$ на 3, рассмотрим поведение выражения $x = 8k + 5$ при разных значениях $k$.

• При $k = 0$: $x = 5$. При делении на 3 остаток равен 2.
• При $k = 1$: $x = 13$. При делении на 3 остаток равен 1 ($13 = 3 \cdot 4 + 1$).
• При $k = 2$: $x = 21$. При делении на 3 остаток равен 0 ($21 = 3 \cdot 7 + 0$).
• При $k = 3$: $x = 29$. При делении на 3 остаток равен 2 ($29 = 3 \cdot 9 + 2$).

Остатки циклически повторяются. Чтобы найти все возможные остатки, воспользуемся арифметикой сравнений. Так как $8 \equiv 2 \pmod{3}$ и $5 \equiv 2 \pmod{3}$, то:

$x \equiv 8k + 5 \equiv 2k + 2 \pmod{3}$.

Остаток зависит от значения $k$ по модулю 3:

• Если $k \equiv 0 \pmod{3}$, то $x \equiv 2 \cdot 0 + 2 \equiv 2 \pmod{3}$.
• Если $k \equiv 1 \pmod{3}$, то $x \equiv 2 \cdot 1 + 2 = 4 \equiv 1 \pmod{3}$.
• Если $k \equiv 2 \pmod{3}$, то $x \equiv 2 \cdot 2 + 2 = 6 \equiv 0 \pmod{3}$.

Следовательно, остаток от деления $x$ на 3 может быть равен 0, 1 или 2.

Ответ: 0, 1 или 2.

в) на 4;

Чтобы найти остаток от деления $x$ на 4, снова преобразуем выражение $x = 8k + 5$:

$x = 8k + 5 = 8k + 4 + 1 = 4(2k + 1) + 1$.

Выражение имеет вид $4q + r$, где частное $q = 2k + 1$, а остаток $r = 1$. Таким образом, для любого целого $k$ остаток от деления $x$ на 4 всегда будет равен 1.

Ответ: 1.

г) на 6?

Для нахождения остатка от деления $x$ на 6, рассмотрим выражение $x = 8k + 5$. Остаток будет зависеть от $k$.

Воспользуемся арифметикой сравнений. Так как $8 \equiv 2 \pmod{6}$, то:

$x \equiv 8k + 5 \equiv 2k + 5 \pmod{6}$.

Значение остатка зависит от $k$. Проверим значения $k$ по модулю 3:

• Если $k \equiv 0 \pmod{3}$ (например, $k=0, 3, 6, \dots$), то $x \equiv 2k+5 \equiv 5 \pmod{6}$. (При $k=0, x=5$, остаток 5).
• Если $k \equiv 1 \pmod{3}$ (например, $k=1, 4, 7, \dots$), то $x \equiv 2k+5 \equiv 2(1)+5=7 \equiv 1 \pmod{6}$. (При $k=1, x=13$, остаток 1).
• Если $k \equiv 2 \pmod{3}$ (например, $k=2, 5, 8, \dots$), то $x \equiv 2k+5 \equiv 2(2)+5=9 \equiv 3 \pmod{6}$. (При $k=2, x=21$, остаток 3).

Следовательно, остаток от деления $x$ на 6 может быть равен 1, 3 или 5.

Ответ: 1, 3 или 5.