Номер 1.44, страница 26, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.44. Докажите, что:

а) остаток от деления натурального числа на 2 равен остатку от деления его последней цифры на 2;

б) остаток от деления натурального числа на 5 равен остатку от деления его последней цифры на 5.

а) остаток от деления натурального числа на 2 равен остатку от деления его последней цифры на 2;

Пусть $N$ — произвольное натуральное число. Любое натуральное число можно представить в виде суммы его последней цифры и произведения числа, образованного остальными цифрами, на 10. То есть, если $d_0$ — последняя цифра числа $N$, то число $N$ можно записать в виде: $N = 10 \cdot A + d_0$, где $A$ — целое неотрицательное число, состоящее из всех цифр числа $N$, кроме последней. Например, для числа $N = 345$, $d_0 = 5$ и $A = 34$, тогда $345 = 10 \cdot 34 + 5$.

Рассмотрим остаток от деления числа $N$ на 2. Выражение $10 \cdot A$ всегда делится на 2 без остатка, так как один из его множителей, число 10, делится на 2 ($10 = 2 \cdot 5$). Следовательно, остаток от деления $10 \cdot A$ на 2 равен 0.

Согласно свойству остатков, остаток от деления суммы на число равен остатку от деления суммы их остатков на то же число. В нашем случае, остаток от деления $N$ на 2 равен остатку от деления суммы $(0 + \text{остаток от деления } d_0 \text{ на } 2)$ на 2. Это означает, что остаток от деления всего числа $N$ на 2 полностью определяется остатком от деления его последней цифры $d_0$ на 2.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) остаток от деления натурального числа на 5 равен остатку от деления его последней цифры на 5.

Доказательство этого утверждения аналогично предыдущему. Представим произвольное натуральное число $N$ в том же виде: $N = 10 \cdot A + d_0$, где $d_0$ — его последняя цифра, а $A$ — целое неотрицательное число.

Рассмотрим остаток от деления числа $N$ на 5. Слагаемое $10 \cdot A$ делится на 5 без остатка, так как множитель 10 делится на 5 ($10 = 5 \cdot 2$). Таким образом, остаток от деления $10 \cdot A$ на 5 равен 0.

Так как остаток от деления первого слагаемого ($10 \cdot A$) на 5 равен 0, остаток от деления всей суммы $N = 10 \cdot A + d_0$ на 5 будет равен остатку от деления второго слагаемого, $d_0$, на 5.

Ответ: Что и требовалось доказать.