Номер 1.38, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.38. Докажите, что среди данных последовательных натуральных чисел нет ни одного простого числа:

а) $23! + 2$, $23! + 3$; $23! + 4$, ..., $23! + 23$;

б) $101! + 2$, $101! + 3$; $101! + 4$, ..., $101! + 101$.

в) Сколько составных чисел в каждой серии а) и б)?

г) Выпишите 1 000 000 последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого.

а)

Рассмотрим последовательность чисел: $23! + 2, 23! + 3, 23! + 4, \dots, 23! + 23$. Необходимо доказать, что каждое число в этой последовательности является составным, то есть имеет делитель, отличный от 1 и самого себя.

Возьмем любой член этой последовательности, который можно представить в общем виде как $23! + k$, где $k$ – целое число и $2 \le k \le 23$.

По определению факториала, $23! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 22 \cdot 23$. Из этого следует, что $23!$ делится на любое целое число от 2 до 23 без остатка. В частности, $23!$ делится на $k$.

Рассмотрим сумму $23! + k$. Первое слагаемое, $23!$, делится на $k$, поскольку $k$ является одним из множителей в произведении $23!$. Второе слагаемое, $k$, очевидно делится на $k$. Если каждое из двух слагаемых делится на некоторое число, то и их сумма делится на это число. Следовательно, число $23! + k$ делится на $k$.

Поскольку $k \ge 2$, то делитель $k$ больше 1. Также, $23! + k > k$, так как $23!$ – положительное число. Таким образом, для каждого числа вида $23! + k$ мы нашли делитель $k$, который больше 1 и меньше самого числа. Это означает, что каждое число в данной последовательности является составным. Следовательно, среди них нет ни одного простого числа.

Ответ: Доказано, что все числа в последовательности являются составными.

б)

Рассмотрим последовательность чисел: $101! + 2, 101! + 3, 101! + 4, \dots, 101! + 101$. Доказательство аналогично пункту а).

Возьмем любой член этой последовательности, который можно представить в общем виде как $101! + k$, где $k$ – целое число и $2 \le k \le 101$.

По определению, $101! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 100 \cdot 101$. Это означает, что $101!$ делится на любое целое число $k$ в диапазоне от 2 до 101.

Рассмотрим сумму $101! + k$. Первое слагаемое, $101!$, делится на $k$, а второе слагаемое, $k$, также делится на $k$. Следовательно, вся сумма $101! + k$ делится на $k$.

Так как $k \ge 2$, делитель $k$ отличен от 1. Так как $101! > 0$, то $101! + k > k$. Значит, каждое число в этой последовательности имеет делитель $k$, отличный от 1 и самого себя, и, следовательно, является составным.

Ответ: Доказано, что все числа в последовательности являются составными.

в)

Чтобы найти количество составных чисел в каждой серии, нужно посчитать количество членов в каждой последовательности. Мы уже доказали, что все они являются составными.

В серии а) представлена последовательность $23! + 2, 23! + 3, \dots, 23! + 23$. Количество членов в этой последовательности равно $(23 - 2) + 1 = 21 + 1 = 22$. Таким образом, в серии а) 22 составных числа.

В серии б) представлена последовательность $101! + 2, 101! + 3, \dots, 101! + 101$. Количество членов равно $(101 - 2) + 1 = 99 + 1 = 100$. Таким образом, в серии б) 100 составных чисел.

Ответ: в серии а) 22 составных числа, в серии б) 100 составных чисел.

г)

Нам нужно выписать $1\;000\;000$ последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого. Для этого воспользуемся общим методом, показанным в предыдущих пунктах.

Чтобы получить $N$ последовательных составных чисел, можно взять последовательность вида $(N+1)! + 2, (N+1)! + 3, \dots, (N+1)! + (N+1)$. В данном случае $N = 1\;000\;000$.

Пусть $M = 1\;000\;000 + 1 = 1\;000\;001$. Рассмотрим последовательность: $M! + 2, M! + 3, M! + 4, \dots, M! + M$.

Эта последовательность состоит из $M-1 = (1\;000\;001 - 1) = 1\;000\;000$ последовательных натуральных чисел.

Докажем, что все они составные. Любой член последовательности имеет вид $M! + k$, где $2 \le k \le M$. Так как $k \le M$, то $M!$ делится на $k$. Значит, и сумма $M! + k$ также делится на $k$. Поскольку $M!+k > k$ и $k > 1$, каждое число $M!+k$ является составным.

Таким образом, искомая последовательность: $(1\;000\;001)! + 2, (1\;000\;001)! + 3, \dots, (1\;000\;001)! + 1\;000\;001$.

Ответ: Последовательность из $1\;000\;000$ последовательных составных натуральных чисел: $(1\;000\;001)! + 2, (1\;000\;001)! + 3, \dots, (1\;000\;001)! + 1\;000\;001$.