Номер 1.31, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.31. В числе 7345_ заполните пропуск такой цифрой, чтобы:

а) число при делении на 9 давало в остатке 2;

б) число при делении на 25 давало в остатке 7.

а) число при делении на 9 давало в остатке 2;

Обозначим искомую цифру, которой заканчивается число, через $x$. Тогда наше число можно записать как $\overline{7345x}$. По условию, это число при делении на 9 должно давать в остатке 2. В терминах сравнений по модулю это записывается так: $\overline{7345x} \equiv 2 \pmod{9}$.

Для решения этой задачи воспользуемся признаком делимости на 9. Согласно этому признаку, любое натуральное число имеет такой же остаток при делении на 9, как и сумма его цифр. Найдем сумму цифр числа $\overline{7345x}$: $S = 7 + 3 + 4 + 5 + x = 19 + x$.

Следовательно, наше условие можно переписать для суммы цифр: $19 + x \equiv 2 \pmod{9}$.

Теперь упростим это сравнение. Найдем остаток от деления числа 19 на 9: $19 = 2 \cdot 9 + 1$. Значит, $19 \equiv 1 \pmod{9}$. Подставим это значение в наше сравнение: $1 + x \equiv 2 \pmod{9}$.

Чтобы найти $x$, вычтем 1 из обеих частей сравнения: $x \equiv 2 - 1 \pmod{9}$ $x \equiv 1 \pmod{9}$.

Поскольку $x$ — это цифра, она может принимать значения от 0 до 9. Среди этих значений только одно удовлетворяет условию $x \equiv 1 \pmod{9}$, а именно $x = 1$. Для проверки подставим найденную цифру в исходное число: 73451. Сумма его цифр равна $7+3+4+5+1 = 20$. При делении 20 на 9 получаем частное 2 и остаток 2 ($20 = 2 \cdot 9 + 2$). Условие выполняется.

Ответ: 1.

б) число при делении на 25 давало в остатке 7.

Снова обозначим искомую цифру через $x$, а число — как $\overline{7345x}$. По условию, это число при делении на 25 должно давать в остатке 7. Запишем это в виде сравнения по модулю: $\overline{7345x} \equiv 7 \pmod{25}$.

Воспользуемся свойством делимости на 25. Остаток от деления любого числа на 25 совпадает с остатком от деления на 25 числа, образованного двумя его последними цифрами. В нашем случае две последние цифры образуют число $\overline{5x}$.

Таким образом, исходное условие эквивалентно следующему: $\overline{5x} \equiv 7 \pmod{25}$.

Число $\overline{5x}$ можно представить в виде суммы $50 + x$. Подставим это выражение в наше сравнение: $50 + x \equiv 7 \pmod{25}$.

Упростим левую часть сравнения. Так как $50$ делится на 25 без остатка ($50 = 2 \cdot 25$), то $50 \equiv 0 \pmod{25}$. Следовательно, сравнение принимает вид: $0 + x \equiv 7 \pmod{25}$ $x \equiv 7 \pmod{25}$.

Поскольку $x$ — это цифра, то есть $0 \leq x \leq 9$, единственное значение, удовлетворяющее условию $x \equiv 7 \pmod{25}$, это $x = 7$. Для проверки подставим найденную цифру: число 73457. Две его последние цифры образуют число 57. При делении 57 на 25 получаем частное 2 и остаток 7 ($57 = 2 \cdot 25 + 7$). Условие выполняется.

Ответ: 7.