Номер 1.29, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.29. В числе $233\Box4$ заполните пропуск такой цифрой, чтобы:

а) число делилось на 4;

б) число делилось на 12.

а) число делилось на 4;

Согласно признаку делимости на 4, число делится на 4 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.

В нашем числе 233?4, которое можно записать как $233x4$, где $x$ — неизвестная цифра, две последние цифры образуют число $x4$.

Нам необходимо найти все цифры $x$ (от 0 до 9), при которых двузначное число $x4$ будет делиться на 4. Переберем все возможные варианты:
- если $x=0$, число 04 делится на 4 ($4 \div 4 = 1$);
- если $x=1$, число 14 не делится на 4;
- если $x=2$, число 24 делится на 4 ($24 \div 4 = 6$);
- если $x=3$, число 34 не делится на 4;
- если $x=4$, число 44 делится на 4 ($44 \div 4 = 11$);
- если $x=5$, число 54 не делится на 4;
- если $x=6$, число 64 делится на 4 ($64 \div 4 = 16$);
- если $x=7$, число 74 не делится на 4;
- если $x=8$, число 84 делится на 4 ($84 \div 4 = 21$);
- если $x=9$, число 94 не делится на 4.

Таким образом, подходящими цифрами являются 0, 2, 4, 6 и 8.

Ответ: 0, 2, 4, 6, 8.

б) число делилось на 12.

Число делится на 12, если оно одновременно делится и на 3, и на 4 (поскольку $12 = 3 \times 4$, а числа 3 и 4 взаимно простые).

Из пункта а) мы уже знаем, что для делимости на 4 на месте пропуска могут стоять цифры 0, 2, 4, 6 или 8.

Теперь проверим условие делимости на 3. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Найдем сумму цифр числа $233x4$:
$S = 2 + 3 + 3 + x + 4 = 12 + x$.

Сумма $12 + x$ должна быть кратна 3. Поскольку 12 делится на 3, то и $x$ должен делиться на 3. Среди цифр от 0 до 9 на 3 делятся 0, 3, 6, 9.

Для того чтобы число $233x4$ делилось на 12, необходимо, чтобы выполнялись оба условия. Найдем цифры, которые удовлетворяют и первому, и второму условию:
- цифры для делимости на 4: {0, 2, 4, 6, 8};
- цифры для делимости на 3: {0, 3, 6, 9}.

Общими для обоих наборов являются цифры 0 и 6.

Проверим найденные решения:
- При $x=0$ получаем число 23304. Сумма цифр 12, делится на 3. Последние цифры 04, делятся на 4. Значит, 23304 делится на 12. ($23304 \div 12 = 1942$).
- При $x=6$ получаем число 23364. Сумма цифр 18, делится на 3. Последние цифры 64, делятся на 4. Значит, 23364 делится на 12. ($23364 \div 12 = 1947$).

Следовательно, пропуск можно заполнить цифрой 0 или 6.

Ответ: 0, 6.