Номер 1.22, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.22. Найдите последнюю цифру числа:

а) $2^{1047}$;

б) $3^{1641}$;

в) $7^{1799}$,

г) $9^{1861}$.

Чтобы найти последнюю цифру числа, возведенного в степень, нужно найти закономерность (цикл) в последних цифрах степеней основания. Последняя цифра произведения чисел определяется только последними цифрами множителей.

Найдем последние цифры первых нескольких степеней двойки:

• $2^1$ оканчивается на 2
• $2^2$ оканчивается на 4
• $2^3$ оканчивается на 8
• $2^4$ оканчивается на 6 ($16$)
• $2^5$ оканчивается на 2 ($32$)

Последние цифры степеней двойки повторяются с циклом длиной 4: (2, 4, 8, 6). Чтобы определить, какая цифра будет последней у числа $2^{1047}$, нужно найти остаток от деления показателя степени 1047 на длину цикла 4.

$1047 \div 4 = 261$ с остатком 3. Это можно записать как $1047 = 4 \times 261 + 3$.

Остаток 3 означает, что последняя цифра числа $2^{1047}$ будет такой же, как у третьего числа в цикле, то есть как у $2^3$.

Последняя цифра $2^3$ равна 8.
Ответ: 8

Найдем последние цифры первых нескольких степеней тройки:

• $3^1$ оканчивается на 3
• $3^2$ оканчивается на 9
• $3^3$ оканчивается на 7 ($27$)
• $3^4$ оканчивается на 1 ($81$)
• $3^5$ оканчивается на 3 ($243$)

Последние цифры степеней тройки повторяются с циклом длиной 4: (3, 9, 7, 1). Чтобы определить последнюю цифру числа $3^{1641}$, найдем остаток от деления показателя степени 1641 на 4.

$1641 \div 4 = 410$ с остатком 1. Это можно записать как $1641 = 4 \times 410 + 1$.

Остаток 1 означает, что последняя цифра числа $3^{1641}$ будет такой же, как у первого числа в цикле, то есть как у $3^1$.

Последняя цифра $3^1$ равна 3.
Ответ: 3

Найдем последние цифры первых нескольких степеней семерки:

• $7^1$ оканчивается на 7
• $7^2$ оканчивается на 9 ($49$)
• $7^3$ оканчивается на 3 ($343$)
• $7^4$ оканчивается на 1 ($2401$)
• $7^5$ оканчивается на 7 ($16807$)

Последние цифры степеней семерки повторяются с циклом длиной 4: (7, 9, 3, 1). Чтобы определить последнюю цифру числа $7^{1799}$, найдем остаток от деления показателя степени 1799 на 4.

$1799 \div 4 = 449$ с остатком 3. Это можно записать как $1799 = 4 \times 449 + 3$.

Остаток 3 означает, что последняя цифра числа $7^{1799}$ будет такой же, как у третьего числа в цикле, то есть как у $7^3$.

Последняя цифра $7^3$ равна 3.
Ответ: 3

Найдем последние цифры первых нескольких степеней девятки:

• $9^1$ оканчивается на 9
• $9^2$ оканчивается на 1 ($81$)
• $9^3$ оканчивается на 9 ($729$)
• $9^4$ оканчивается на 1 ($6561$)

Последние цифры степеней девятки повторяются с циклом длиной 2: (9, 1). Для нечетных степеней последняя цифра 9, для четных — 1. Чтобы определить последнюю цифру числа $9^{1861}$, нужно определить четность показателя степени 1861.

Число 1861 является нечетным. Это эквивалентно нахождению остатка от деления на 2: $1861 = 2 \times 930 + 1$.

Поскольку показатель степени нечетный (остаток 1), последняя цифра будет такой же, как у первого числа в цикле, то есть как у $9^1$.

Последняя цифра $9^1$ равна 9.
Ответ: 9