Страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1.22. Найдите последнюю цифру числа:

а) $2^{1047}$;

б) $3^{1641}$;

в) $7^{1799}$,

г) $9^{1861}$.

Чтобы найти последнюю цифру числа, возведенного в степень, нужно найти закономерность (цикл) в последних цифрах степеней основания. Последняя цифра произведения чисел определяется только последними цифрами множителей.

Найдем последние цифры первых нескольких степеней двойки:

• $2^1$ оканчивается на 2
• $2^2$ оканчивается на 4
• $2^3$ оканчивается на 8
• $2^4$ оканчивается на 6 ($16$)
• $2^5$ оканчивается на 2 ($32$)

Последние цифры степеней двойки повторяются с циклом длиной 4: (2, 4, 8, 6). Чтобы определить, какая цифра будет последней у числа $2^{1047}$, нужно найти остаток от деления показателя степени 1047 на длину цикла 4.

$1047 \div 4 = 261$ с остатком 3. Это можно записать как $1047 = 4 \times 261 + 3$.

Остаток 3 означает, что последняя цифра числа $2^{1047}$ будет такой же, как у третьего числа в цикле, то есть как у $2^3$.

Последняя цифра $2^3$ равна 8.
Ответ: 8

Найдем последние цифры первых нескольких степеней тройки:

• $3^1$ оканчивается на 3
• $3^2$ оканчивается на 9
• $3^3$ оканчивается на 7 ($27$)
• $3^4$ оканчивается на 1 ($81$)
• $3^5$ оканчивается на 3 ($243$)

Последние цифры степеней тройки повторяются с циклом длиной 4: (3, 9, 7, 1). Чтобы определить последнюю цифру числа $3^{1641}$, найдем остаток от деления показателя степени 1641 на 4.

$1641 \div 4 = 410$ с остатком 1. Это можно записать как $1641 = 4 \times 410 + 1$.

Остаток 1 означает, что последняя цифра числа $3^{1641}$ будет такой же, как у первого числа в цикле, то есть как у $3^1$.

Последняя цифра $3^1$ равна 3.
Ответ: 3

Найдем последние цифры первых нескольких степеней семерки:

• $7^1$ оканчивается на 7
• $7^2$ оканчивается на 9 ($49$)
• $7^3$ оканчивается на 3 ($343$)
• $7^4$ оканчивается на 1 ($2401$)
• $7^5$ оканчивается на 7 ($16807$)

Последние цифры степеней семерки повторяются с циклом длиной 4: (7, 9, 3, 1). Чтобы определить последнюю цифру числа $7^{1799}$, найдем остаток от деления показателя степени 1799 на 4.

$1799 \div 4 = 449$ с остатком 3. Это можно записать как $1799 = 4 \times 449 + 3$.

Остаток 3 означает, что последняя цифра числа $7^{1799}$ будет такой же, как у третьего числа в цикле, то есть как у $7^3$.

Последняя цифра $7^3$ равна 3.
Ответ: 3

Найдем последние цифры первых нескольких степеней девятки:

• $9^1$ оканчивается на 9
• $9^2$ оканчивается на 1 ($81$)
• $9^3$ оканчивается на 9 ($729$)
• $9^4$ оканчивается на 1 ($6561$)

Последние цифры степеней девятки повторяются с циклом длиной 2: (9, 1). Для нечетных степеней последняя цифра 9, для четных — 1. Чтобы определить последнюю цифру числа $9^{1861}$, нужно определить четность показателя степени 1861.

Число 1861 является нечетным. Это эквивалентно нахождению остатка от деления на 2: $1861 = 2 \times 930 + 1$.

Поскольку показатель степени нечетный (остаток 1), последняя цифра будет такой же, как у первого числа в цикле, то есть как у $9^1$.

Последняя цифра $9^1$ равна 9.
Ответ: 9

1.23. Найдите последнюю цифру числа:

a) $2001^{2002^{2003}}$;

б) $1999^{2002^{1333}}$;

в) $1345^{6789^{12345}}$;

г) $23456^{78901^{2345}}$.

Чтобы найти последнюю цифру числа, возведенного в степень, достаточно проанализировать последнюю цифру основания. Последняя цифра произведения чисел определяется только последними цифрами множителей. Это позволяет нам рассматривать последнюю цифру основания и находить закономерности ее поведения при возведении в степень.

Последняя цифра основания 2001 равна 1. Любое число, оканчивающееся на 1, при возведении в любую натуральную степень также будет оканчиваться на 1. Например, $1^1=1$, $1^2=1$, $11^2=121$. Поскольку показатель степени $2002^{2003}$ является натуральным числом, то и последняя цифра искомого числа будет 1.

Ответ: 1

Последняя цифра числа $1999^{2002^{1333}}$ совпадает с последней цифрой числа $9^{2002^{1333}}$. Рассмотрим последние цифры степеней девятки: $9^1 = 9$ $9^2 = 81 \rightarrow 1$ $9^3 = 729 \rightarrow 9$ $9^4 = 6561 \rightarrow 1$ Видна цикличность с периодом 2: последняя цифра равна 9 для нечетных степеней и 1 для четных. Нам нужно определить четность показателя $2002^{1333}$. Основание этой степени, число 2002, является четным. Любая натуральная степень четного числа есть число четное. Следовательно, показатель $2002^{1333}$ — четное число. Поэтому последняя цифра числа $1999^{2002^{1333}}$ равна 1.

Ответ: 1

Последняя цифра основания 1345 равна 5. Любое число, оканчивающееся на 5, при возведении в любую натуральную степень (кроме нулевой) также оканчивается на 5. Например, $5^1=5$, $5^2=25$, $5^3=125$. Показатель $6789^{12345}$ является натуральным числом, следовательно, последняя цифра всего выражения будет 5.

Ответ: 5

Последняя цифра основания 23456 равна 6. Любое число, оканчивающееся на 6, при возведении в любую натуральную степень (кроме нулевой) также оканчивается на 6. Например, $6^1=6$, $6^2=36$, $6^3=216$. Показатель $78901^{2345}$ является натуральным числом, следовательно, последняя цифра всего выражения будет 6.

Ответ: 6

1.24. Существуют ли такие натуральные числа $n$ и $k$, что по-последняя цифра разности указанных двух степеней равна нулю:

а) $627^n - 833^k$;

б) $834^n - 626^k$?

Чтобы последняя цифра разности двух чисел была равна нулю, необходимо и достаточно, чтобы последние цифры этих чисел совпадали. Задача сводится к тому, чтобы определить, могут ли указанные степени оканчиваться на одну и ту же цифру.

а) $627^n - 833^k$

Проанализируем, на какие цифры могут оканчиваться числа $627^n$ и $833^k$. Последняя цифра степени зависит только от последней цифры основания.

Для числа $627^n$ последняя цифра совпадает с последней цифрой числа $7^n$. Найдем последовательность последних цифр для степеней семерки:
$7^1 = 7$
$7^2 = 49 \rightarrow 9$
$7^3 = 343 \rightarrow 3$
$7^4 = 2401 \rightarrow 1$
$7^5 = 16807 \rightarrow 7$
Последовательность последних цифр циклически повторяется с периодом 4: (7, 9, 3, 1). Таким образом, число $627^n$ может оканчиваться на 1, 3, 7 или 9.

Для числа $833^k$ последняя цифра совпадает с последней цифрой числа $3^k$. Найдем последовательность последних цифр для степеней тройки:
$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27 \rightarrow 7$
$3^4 = 81 \rightarrow 1$
$3^5 = 243 \rightarrow 3$
Последовательность последних цифр также циклически повторяется с периодом 4: (3, 9, 7, 1). Таким образом, число $833^k$ может оканчиваться на 1, 3, 7 или 9.

Множества возможных последних цифр для $627^n$ и $833^k$ полностью совпадают. Следовательно, можно подобрать такие натуральные $n$ и $k$, чтобы последние цифры степеней были равны. Например, чтобы последняя цифра $627^n$ была равна 7, нужно взять $n=1$. Чтобы последняя цифра $833^k$ была равна 7, нужно взять $k=3$. При $n=1$ и $k=3$ последняя цифра разности $627^1 - 833^3$ будет равна $7 - 7 = 0$.
Ответ: да, существуют (например, $n=1, k=3$).

б) $834^n - 626^k$

Аналогично, проанализируем последние цифры чисел $834^n$ и $626^k$.

Последняя цифра $834^n$ определяется последней цифрой $4^n$:
$4^1 = 4$
$4^2 = 16 \rightarrow 6$
$4^3 = 64 \rightarrow 4$
Последовательность последних цифр для степеней четверки: (4, 6). То есть, $834^n$ оканчивается на 4, если $n$ — нечетное, и на 6, если $n$ — четное.

Последняя цифра $626^k$ определяется последней цифрой $6^k$:
$6^1 = 6$
$6^2 = 36 \rightarrow 6$
Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 6, также оканчивается на 6. Значит, $626^k$ всегда оканчивается на 6 для любого натурального $k$.

Чтобы последние цифры $834^n$ и $626^k$ совпали, они обе должны быть равны 6. Это возможно. Для этого нужно, чтобы $n$ было четным числом, например $n=2$. Число $k$ может быть любым натуральным числом, например $k=1$. При $n=2$ и $k=1$ последняя цифра числа $834^2$ равна 6, и последняя цифра числа $626^1$ равна 6. Следовательно, последняя цифра их разности будет $6 - 6 = 0$.
Ответ: да, существуют (например, $n=2, k=1$).

1.25. Докажите, что произведение $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 13$ делится на $(1 + 2 + 3 + \dots + 13)$, а произведение $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 16$ не делится на $(1 + 2 + 3 + \dots + 16)$.

Докажем, что произведение 1 · 2 · 3 · ... · 13 делится на (1 + 2 + 3 + ... + 13).
Обозначим произведение как $P_{13} = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 13 = 13!$.
Обозначим сумму как $S_{13} = 1 + 2 + 3 + \ldots + 13$.
Данная сумма является суммой первых 13 членов арифметической прогрессии. Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$, где $n$ — число членов, $a_1$ — первый член, $a_n$ — последний член. В нашем случае $n=13$, $a_1=1$, $a_{13}=13$.
$S_{13} = \frac{13(1 + 13)}{2} = \frac{13 \cdot 14}{2} = 13 \cdot 7 = 91$.
Нам нужно доказать, что $P_{13}$ делится на $S_{13}$, то есть что $13!$ делится на $91$.
Для того чтобы число делилось на $91$, оно должно делиться на все его простые множители. Разложим $91$ на простые множители: $91 = 7 \cdot 13$.
Произведение $13! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 7 \cdot \ldots \cdot 13$ по определению содержит среди своих множителей как число $7$, так и число $13$.
Следовательно, $13!$ делится и на $7$, и на $13$. А раз оно делится на два взаимно простых числа, то оно делится и на их произведение, то есть $13!$ делится на $7 \cdot 13 = 91$.
Ответ: что и требовалось доказать.

Докажем, что произведение 1 · 2 · 3 · ... · 16 не делится на (1 + 2 + 3 + ... + 16).
Обозначим произведение как $P_{16} = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 16 = 16!$.
Обозначим сумму как $S_{16} = 1 + 2 + 3 + \ldots + 16$.
Вычислим эту сумму по формуле суммы арифметической прогрессии:
$S_{16} = \frac{16(1 + 16)}{2} = \frac{16 \cdot 17}{2} = 8 \cdot 17 = 136$.
Нам нужно доказать, что $P_{16}$ не делится на $S_{16}$, то есть что $16!$ не делится на $136$.
Для того чтобы число делилось на $136$, оно должно делиться на все его простые множители. Разложим $136$ на простые множители: $136 = 2 \cdot 68 = 2 \cdot 2 \cdot 34 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 17 = 2^3 \cdot 17$.
Рассмотрим произведение $16! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 16$.
Оно содержит множитель $8=2^3$, поэтому $16!$ делится на $8$.
Однако, чтобы $16!$ делилось на $136$, оно также должно делиться на $17$.
Число $17$ является простым. В разложении числа $16!$ на простые множители могут входить только простые числа, не превосходящие $16$ (это 2, 3, 5, 7, 11, 13).
Поскольку $17 > 16$, простое число $17$ не может быть делителем числа $16!$.
Так как $16!$ не делится на $17$, оно не может делиться и на число $136$, одним из множителей которого является $17$.
Ответ: что и требовалось доказать.

1.26. а) Докажите, что если при некотором натуральном значении $n$ число $n^3 - n$ делится на 6, то и число $(n+1)^3 - (n+1)$ также делится на 6.

б) Докажите, что если при некотором натуральном значении $n$ число $n^3 + 5n$ делится на 6, то и число $(n+1)^3 + 5(n+1)$ также делится на 6.

в) Докажите, что если при некотором натуральном значении $n$ число $7^n + 3n - 1$ делится на 9, то и число $7^{n+1} + 3(n+1) - 1$ также делится на 9.

г) Докажите, что если при некотором натуральном значении $n$ число $3^{2n+2} - 8n - 9$ делится на 64, то и число $3^{2n+4} - 8(n+1) - 9$ также делится на 64.

а)

Данная задача является шагом индукции в доказательстве методом математической индукции. Нам нужно доказать, что если утверждение верно для $n$, то оно верно и для $n+1$.

Пусть при некотором натуральном $n$ число $n^3 - n$ делится на 6. Это означает, что $n^3 - n = 6k$ для некоторого целого числа $k$.

Рассмотрим выражение для $n+1$: $(n+1)^3 - (n+1)$. Преобразуем его, раскрыв скобки:

$(n+1)^3 - (n+1) = (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) - (n+1) = n^3 + 3n^2 + 2n$

Теперь выделим в полученном выражении исходное выражение $n^3 - n$, чтобы использовать условие:

$n^3 + 3n^2 + 2n = (n^3 - n) + n + 3n^2 + 2n = (n^3 - n) + (3n^2 + 3n)$

Вынесем общий множитель во втором слагаемом:

$(n^3 - n) + 3n(n+1)$

Получилась сумма двух слагаемых. Проанализируем делимость каждого из них на 6:

1. Первое слагаемое, $(n^3 - n)$, делится на 6 по условию.
2. Второе слагаемое, $3n(n+1)$. Произведение $n(n+1)$ — это произведение двух последовательных натуральных чисел, одно из которых обязательно является четным, следовательно, $n(n+1)$ всегда делится на 2. Тогда произведение $3n(n+1)$ гарантированно делится на $3 \times 2 = 6$.

Поскольку оба слагаемых делятся на 6, то и их сумма $(n^3 - n) + 3n(n+1)$ также делится на 6.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Пусть при некотором натуральном $n$ число $n^3 + 5n$ делится на 6. Это значит, что $n^3 + 5n = 6k$ для некоторого целого $k$.

Рассмотрим выражение для $n+1$: $(n+1)^3 + 5(n+1)$. Преобразуем его:

$(n+1)^3 + 5(n+1) = (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + (5n + 5) = n^3 + 3n^2 + 8n + 6$

Выделим в полученном выражении исходное выражение $n^3 + 5n$:

$n^3 + 3n^2 + 8n + 6 = (n^3 + 5n) + 3n^2 + 3n + 6 = (n^3 + 5n) + 3n(n+1) + 6$

Получилась сумма трех слагаемых. Проанализируем делимость каждого из них на 6:

1. Первое слагаемое, $(n^3 + 5n)$, делится на 6 по условию.
2. Второе слагаемое, $3n(n+1)$, делится на 6 (как показано в пункте а).
3. Третье слагаемое, $6$, очевидно делится на 6.

Поскольку все три слагаемых делятся на 6, их сумма также делится на 6.

Ответ: Утверждение доказано.

в)

Пусть при некотором натуральном $n$ число $7^n + 3n - 1$ делится на 9. Обозначим это выражение $A_n = 7^n + 3n - 1$. По условию $A_n$ делится на 9.

Рассмотрим соответствующее выражение для $n+1$: $A_{n+1} = 7^{n+1} + 3(n+1) - 1$.

Преобразуем $A_{n+1}$:

$A_{n+1} = 7^{n+1} + 3n + 3 - 1 = 7 \cdot 7^n + 3n + 2$

Из условия $A_n = 7^n + 3n - 1$ выразим $7^n = A_n - 3n + 1$. Подставим это выражение в формулу для $A_{n+1}$:

$A_{n+1} = 7(A_n - 3n + 1) + 3n + 2 = 7A_n - 21n + 7 + 3n + 2 = 7A_n - 18n + 9$

Рассмотрим полученное выражение. Оно состоит из трех слагаемых: $7A_n$, $-18n$ и $9$.

1. Первое слагаемое, $7A_n$, делится на 9, так как по условию $A_n$ делится на 9.
2. Второе слагаемое, $-18n$, делится на 9, так как $18 = 2 \times 9$.
3. Третье слагаемое, $9$, очевидно делится на 9.

Так как все слагаемые делятся на 9, то и их алгебраическая сумма $A_{n+1}$ делится на 9.

Ответ: Утверждение доказано.

г)

Пусть при некотором натуральном $n$ число $3^{2n+2} - 8n - 9$ делится на 64. Обозначим это выражение $A_n = 3^{2n+2} - 8n - 9$. По условию $A_n$ делится на 64.

Рассмотрим соответствующее выражение для $n+1$: $A_{n+1} = 3^{2(n+1)+2} - 8(n+1) - 9$.

Преобразуем $A_{n+1}$:

$A_{n+1} = 3^{2n+4} - 8n - 8 - 9 = 3^{2n+4} - 8n - 17$

$A_{n+1} = 3^2 \cdot 3^{2n+2} - 8n - 17 = 9 \cdot 3^{2n+2} - 8n - 17$

Из условия $A_n = 3^{2n+2} - 8n - 9$ выразим $3^{2n+2} = A_n + 8n + 9$. Подставим это в выражение для $A_{n+1}$:

$A_{n+1} = 9(A_n + 8n + 9) - 8n - 17$

$A_{n+1} = 9A_n + 72n + 81 - 8n - 17$

$A_{n+1} = 9A_n + 64n + 64 = 9A_n + 64(n+1)$

Рассмотрим полученную сумму:

1. Первое слагаемое, $9A_n$, делится на 64, так как по условию $A_n$ делится на 64.
2. Второе слагаемое, $64(n+1)$, очевидно делится на 64.

Так как оба слагаемых делятся на 64, то и их сумма $A_{n+1}$ делится на 64.

Ответ: Утверждение доказано.

1.27. Докажите, что:

а) произведение двух идущих подряд натуральных чисел делится на 2;

б) произведение трёх идущих подряд натуральных чисел делится на 3 и на 6;

в) произведение четырёх идущих подряд натуральных чисел делится на 4, на 12 и на 24;

г) произведение пяти идущих подряд натуральных чисел делится на 5, на 20 и на 120.

а)Пусть даны два идущих подряд натуральных числа: $n$ и $n+1$. Их произведение равно $n(n+1)$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $n$ — четное число, то оно делится на 2. Тогда и все произведение $n(n+1)$ делится на 2.
2. Если $n$ — нечетное число, то следующее за ним число $n+1$ — четное и делится на 2. Тогда и все произведение $n(n+1)$ делится на 2.
Поскольку любое натуральное число является либо четным, либо нечетным, в любом случае произведение двух идущих подряд натуральных чисел делится на 2.
Ответ: Утверждение доказано.

б)Пусть даны три идущих подряд натуральных числа: $n$, $n+1$, $n+2$. Их произведение $P = n(n+1)(n+2)$.
Докажем делимость на 3:
При делении на 3 число может давать остаток 0, 1 или 2. Рассмотрим все случаи для числа $n$:
1. Если $n$ делится на 3 (остаток 0), то и все произведение $P$ делится на 3.
2. Если $n$ дает остаток 1 при делении на 3, то число $n+2$ будет делиться на 3, так как $(3k+1)+2 = 3k+3 = 3(k+1)$. Следовательно, произведение $P$ делится на 3.
3. Если $n$ дает остаток 2 при делении на 3, то число $n+1$ будет делиться на 3, так как $(3k+2)+1 = 3k+3 = 3(k+1)$. Следовательно, произведение $P$ делится на 3.
Таким образом, в любой тройке идущих подряд чисел одно из них обязательно делится на 3, а значит и их произведение делится на 3.
Докажем делимость на 6:
Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. Мы уже доказали, что произведение $P$ делится на 3. В произведении $P$ содержится произведение двух идущих подряд чисел $n(n+1)$, которое, как доказано в пункте а), всегда делится на 2. Значит, и все произведение $P = [n(n+1)](n+2)$ делится на 2.
Поскольку произведение $P$ делится и на 2, и на 3, а числа 2 и 3 взаимно простые, оно делится на их произведение $2 \times 3 = 6$.
Ответ: Утверждение доказано.

в)Пусть даны четыре идущих подряд натуральных числа: $n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$. Их произведение $P = n(n+1)(n+2)(n+3)$.
Чтобы доказать делимость на 4, 12 и 24, достаточно доказать делимость на 24, так как 4 и 12 являются делителями числа 24.
Число делится на 24, если оно делится на 3 и на 8, так как $24 = 3 \times 8$, а числа 3 и 8 взаимно простые.
Делимость на 3: Среди четырех идущих подряд чисел обязательно есть хотя бы одно число, делящееся на 3 (это следует из доказательства в пункте б)). Следовательно, произведение $P$ делится на 3.
Делимость на 8: Среди четырех идущих подряд чисел есть ровно два четных числа. Эти числа являются последовательными четными, то есть их можно записать в виде $2k$ и $2k+2$ для некоторого целого $k$. Их произведение равно $2k(2k+2) = 4k(k+1)$. Как доказано в пункте а), произведение $k(k+1)$ всегда четно, то есть делится на 2. Пусть $k(k+1) = 2m$. Тогда произведение двух четных множителей равно $4(2m) = 8m$, что всегда делится на 8. Следовательно, и все произведение $P$ делится на 8.
Поскольку произведение $P$ делится и на 3, и на 8, оно делится на $3 \times 8 = 24$. А раз оно делится на 24, то оно делится и на его делители 4 и 12.
Ответ: Утверждение доказано.

г)Пусть даны пять идущих подряд натуральных чисел: $n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$, $n+4$. Их произведение $P = n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)$.
Чтобы доказать делимость на 5, 20 и 120, достаточно доказать делимость на 120, так как 5 и 20 являются делителями числа 120.
Число делится на 120, если оно делится на 3, 5 и 8, так как $120 = 3 \times 5 \times 8$, а числа 3, 5, 8 попарно взаимно простые.
Делимость на 5: Среди любых пяти идущих подряд натуральных чисел одно и только одно делится на 5. Следовательно, произведение $P$ делится на 5.
Делимость на 3: Среди любых пяти идущих подряд натуральных чисел есть как минимум одно, делящееся на 3. Следовательно, произведение $P$ делится на 3.
Делимость на 8: Среди пяти идущих подряд чисел есть подпоследовательность из четырех идущих подряд чисел (например, $n, n+1, n+2, n+3$). Как доказано в пункте в), произведение четырех идущих подряд чисел всегда делится на 8. Следовательно, и произведение $P$ делится на 8.
Поскольку произведение $P$ делится на 3, на 5 и на 8, оно делится на их произведение $3 \times 5 \times 8 = 120$. А раз оно делится на 120, то оно делится и на его делители 5 и 20.
Ответ: Утверждение доказано.

1.28. В числе $23\square47$ заполните пропуск такой цифрой, чтобы:

а) число делилось на 3;

б) число делилось на 9.

а)

Согласно признаку делимости на 3, число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
Рассмотрим число 23?47. Обозначим пропущенную цифру через $x$.
Найдем сумму известных цифр в этом числе: $2 + 3 + 4 + 7 = 16$.
Таким образом, полная сумма цифр числа равна $16 + x$.
Это выражение должно быть кратно 3. Поскольку $x$ — это цифра, ее значение может быть от 0 до 9. Найдем все подходящие значения $x$.
- Если $x = 2$, то сумма цифр $16 + 2 = 18$. Число 18 делится на 3 ($18 \div 3 = 6$), значит, цифра 2 подходит.
- Если $x = 5$, то сумма цифр $16 + 5 = 21$. Число 21 делится на 3 ($21 \div 3 = 7$), значит, цифра 5 подходит.
- Если $x = 8$, то сумма цифр $16 + 8 = 24$. Число 24 делится на 3 ($24 \div 3 = 8$), значит, цифра 8 подходит.
Следующее подходящее число для суммы (27) потребовало бы $x=11$, что не является цифрой.
Следовательно, пропуск можно заполнить цифрами 2, 5 или 8.
Ответ: 2, 5, 8.

б)

Согласно признаку делимости на 9, число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Сумма цифр числа 23?47, как мы уже выяснили в пункте а), равна $16 + x$, где $x$ — пропущенная цифра.
Это выражение должно быть кратно 9.
Поскольку $x$ — это цифра от 0 до 9, то значение суммы $16+x$ может находиться в диапазоне от $16+0=16$ до $16+9=25$.
Единственное число в этом диапазоне (от 16 до 25), которое делится на 9 без остатка, — это 18.
Следовательно, сумма цифр должна быть равна 18.
$16 + x = 18$
$x = 18 - 16 = 2$
Таким образом, единственная цифра, которую можно вставить в пропуск, — это 2.
Ответ: 2.