Страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Приведите пример чисто-периодической бесконечной десятичной дроби с двумя цифрами в периоде.

1. Чисто-периодическая бесконечная десятичная дробь — это такая бесконечная десятичная дробь, у которой повторяющаяся группа цифр, называемая периодом, начинается сразу после десятичной запятой. Общий вид такой дроби с нулевой целой частью: $0.(a_1a_2...a_k)$.

По условию задачи, в периоде должно быть две цифры. Это означает, что дробь будет иметь вид $C.(ab)$, где $C$ — целая часть, а $a$ и $b$ — это две цифры, составляющие период. Для простоты возьмем целую часть равной нулю.

В качестве примера выберем последовательность цифр «45» для периода. Тогда искомая дробь будет $0.(45)$. Эта дробь является чисто-периодической, так как ее период «45» начинается непосредственно после запятой, и этот период состоит ровно из двух цифр.

В развернутом виде это число записывается как $0.454545...$

Любую чисто-периодическую дробь можно перевести в обыкновенную. Для этого можно использовать следующее правило: в числитель ставится число, образованное цифрами периода, а в знаменатель — число, состоящее из такого же количества девяток, сколько цифр в периоде. Для нашего примера $0.(45)$ с двумя цифрами в периоде получаем:

$0.(45) = \frac{45}{99}$

Проверим это алгебраически. Пусть $x = 0.454545...$. Умножим обе части равенства на $100$ (так как в периоде 2 цифры):

$100x = 45.454545...$

Теперь вычтем из второго уравнения первое:

$100x - x = 45.454545... - 0.454545...$

$99x = 45$

$x = \frac{45}{99}$

При делении в столбик 45 на 99 (или после сокращения дроби до $\frac{5}{11}$) мы действительно получим бесконечную дробь $0.454545...$. Таким образом, $0.(45)$ является корректным примером.

Ответ: $0.(45)$

2. Приведите пример смешанно-периодической бесконечной десятичной дроби с тремя цифрами в периоде.

2. Смешанно-периодическая бесконечная десятичная дробь — это такая бесконечная десятичная дробь, у которой между запятой и периодом (бесконечно повторяющейся группой цифр) есть одна или несколько цифр, которые не повторяются. Эта неповторяющаяся часть называется предпериодом.

Согласно условию задачи, необходимо привести пример дроби, которая является смешанно-периодической (то есть имеет предпериод) и у которой период состоит ровно из трех цифр.

Рассмотрим в качестве примера число $7.5(123)$.

Это число можно записать в развернутом виде как $7.5123123123...$ . Разберем его структуру:

• Целая часть: $7$.
• Предпериод: $5$. Это цифра, которая стоит после запятой, но не входит в повторяющуюся часть. Наличие предпериода делает эту дробь именно смешанно-периодической.
• Период: $(123)$. Это группа из трех цифр ($1, 2, 3$), которая бесконечно повторяется.

Таким образом, число $7.5(123)$ полностью удовлетворяет заданным условиям: это смешанно-периодическая дробь с тремя цифрами в периоде.

Другими примерами могут быть: $0.44(567)$, $12.01(002)$ или $3.8(910)$.

Ответ: $7.5(123)$.

3. Сколько рациональных чисел можно расположить между 1,2 и 1,3?

Между любыми двумя различными рациональными числами всегда можно расположить бесконечное множество других рациональных чисел. Это свойство называется плотностью множества рациональных чисел.

Числа 1,2 и 1,3 являются рациональными, так как их можно представить в виде обыкновенной дроби (отношения двух целых чисел):
$1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$
$1,3 = \frac{13}{10}$

Существует несколько способов показать, что между ними находится бесконечное количество других рациональных чисел.

Способ 1: Нахождение среднего арифметического
Если взять два любых различных рациональных числа, их среднее арифметическое всегда будет рациональным числом, находящимся между ними.
Найдем среднее арифметическое для 1,2 и 1,3:
$\frac{1,2 + 1,3}{2} = \frac{2,5}{2} = 1,25$
Число 1,25 рационально и лежит между 1,2 и 1,3. Теперь мы можем повторить эту процедуру для нового интервала, например, от 1,2 до 1,25:
$\frac{1,2 + 1,25}{2} = \frac{2,45}{2} = 1,225$
Этот процесс можно продолжать до бесконечности, каждый раз получая новое рациональное число внутри исходного интервала. Это доказывает, что количество таких чисел бесконечно.

Способ 2: Увеличение точности десятичной дроби
Мы можем дописывать нули в конце десятичной дроби, не меняя ее значения.
Представим наши числа как 1,20 и 1,30. Между ними очевидно лежат рациональные числа: 1,21, 1,22, ..., 1,29.
Теперь представим их как 1,200 и 1,300. Между ними уже можно найти 99 чисел: 1,201, 1,202, ..., 1,299.
Продолжая добавлять нули, мы можем создать бесконечное количество "мест" для новых рациональных чисел. Например, следующая бесконечная последовательность чисел:
1,21
1,201
1,2001
1,20001
... и так далее.
Все эти числа являются рациональными и все они расположены строго между 1,2 и 1,3.

Таким образом, на основании свойства плотности множества рациональных чисел, между 1,2 и 1,3 можно расположить бесконечно много рациональных чисел.

Ответ: между числами 1,2 и 1,3 можно расположить бесконечное множество рациональных чисел.

2.2. Сколько целых чисел заключено между числами:

а) $\frac{1111}{37}$ и $\frac{11512}{361}$;

б) $\frac{1234}{56}$ и $\frac{78910}{789}$?

а)

Чтобы найти количество целых чисел, заключенных между дробями $\frac{1111}{37}$ и $\frac{11512}{361}$, необходимо сначала преобразовать эти дроби в смешанные числа, чтобы определить их значения.

Вычислим значение первой дроби $\frac{1111}{37}$.
Заметим, что $37 \times 30 = 1110$. Тогда числитель можно представить как $1111 = 1110 + 1 = 37 \times 30 + 1$. Таким образом, дробь можно представить в виде смешанного числа: $\frac{1111}{37} = \frac{37 \times 30 + 1}{37} = 30\frac{1}{37}$.

Теперь вычислим значение второй дроби $\frac{11512}{361}$.
Выполним деление с остатком. $361 \times 30 = 10830$. $11512 - 10830 = 682$. $361 \times 1 = 361$, а $361 \times 2 = 722$. Значит, целая часть от деления $682$ на $361$ равна 1. Целая часть от деления $11512$ на $361$ равна $30+1=31$. Найдем остаток: $11512 = 361 \times 31 + R$. $361 \times 31 = 11191$. $R = 11512 - 11191 = 321$. Значит, дробь равна: $\frac{11512}{361} = 31\frac{321}{361}$.

Теперь нам нужно найти количество целых чисел $k$, которые удовлетворяют неравенству: $30\frac{1}{37} < k < 31\frac{321}{361}$. Первое число, $30\frac{1}{37}$, немного больше 30. Второе число, $31\frac{321}{361}$, больше 31, но меньше 32. Следовательно, мы ищем целые числа, которые строго больше 30 и строго меньше 32. Единственное целое число, удовлетворяющее этому условию, это 31.

Ответ: 1.

б)

Найдем количество целых чисел между числами $\frac{1234}{56}$ и $\frac{78910}{789}$. Для этого, как и в предыдущем пункте, преобразуем дроби в смешанные числа.

Рассмотрим первую дробь $\frac{1234}{56}$.
Сначала сократим дробь, так как числитель и знаменатель являются четными числами: $\frac{1234}{56} = \frac{1234 \div 2}{56 \div 2} = \frac{617}{28}$.
Теперь выполним деление $617$ на $28$ с остатком: $617 = 28 \times 22 + 1$. Таким образом, первая дробь равна: $\frac{617}{28} = 22\frac{1}{28}$.

Рассмотрим вторую дробь $\frac{78910}{789}$.
Представим числитель как $78910 = 78900 + 10 = 789 \times 100 + 10$. Тогда дробь можно записать так: $\frac{78910}{789} = \frac{789 \times 100 + 10}{789} = 100 + \frac{10}{789} = 100\frac{10}{789}$.

Мы ищем количество целых чисел $k$, удовлетворяющих неравенству: $22\frac{1}{28} < k < 100\frac{10}{789}$.
Это означает, что искомые целые числа должны быть строго больше $22$ и строго меньше $101$. Наименьшее целое число в этом интервале — это 23. Наибольшее целое число в этом интервале — это 100. Чтобы найти количество целых чисел от 23 до 100 включительно, воспользуемся формулой: (Последнее число - Первое число) + 1. Количество чисел = $100 - 23 + 1 = 77 + 1 = 78$.

Ответ: 78.

2.3. Сколько существует обыкновенных правильных несократимых дробей со знаменателем, равным:

a) 17;

б) 236?

Выпишите наибольшую из этих дробей в каждом случае.

а)

Нам необходимо найти количество обыкновенных правильных несократимых дробей со знаменателем 17. Такая дробь имеет вид $m/17$.

Дробь является правильной, если её числитель меньше знаменателя ($m < 17$), и несократимой, если её числитель и знаменатель взаимно просты (то есть их наибольший общий делитель равен 1, $НОД(m, 17) = 1$). Поскольку числитель $m$ должен быть натуральным числом, то $1 \le m < 17$.

Таким образом, задача сводится к нахождению количества натуральных чисел, которые меньше 17 и взаимно просты с ним. Это количество определяется функцией Эйлера $\phi(n)$. В нашем случае, нам нужно найти $\phi(17)$.

Число 17 является простым. Для любого простого числа $p$ значение функции Эйлера вычисляется по формуле $\phi(p) = p - 1$. Следовательно, $\phi(17) = 17 - 1 = 16$. Это означает, что существует 16 таких дробей.

Наибольшая из этих дробей будет иметь наибольший возможный числитель. Наибольшее натуральное число $m$, которое удовлетворяет условиям $1 \le m < 17$ и $НОД(m, 17) = 1$, — это 16. Следовательно, наибольшая дробь — это $16/17$.

Ответ: существует 16 дробей, наибольшая из них — $16/17$.

б)

Теперь найдем количество обыкновенных правильных несократимых дробей со знаменателем 236. Дробь имеет вид $m/236$, где $1 \le m < 236$ и $НОД(m, 236) = 1$.

Количество таких дробей равно значению функции Эйлера $\phi(236)$. Для вычисления $\phi(236)$ сначала разложим число 236 на простые множители: $236 = 2 \cdot 118 = 2 \cdot 2 \cdot 59 = 2^2 \cdot 59$.

Используем формулу для функции Эйлера: $\phi(n) = n \cdot \prod_{p|n} (1 - 1/p)$, где $p$ — это уникальные простые делители числа $n$. $\phi(236) = 236 \cdot (1 - 1/2) \cdot (1 - 1/59) = 236 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{58}{59} = 118 \cdot \frac{58}{59} = 2 \cdot 58 = 116$. Следовательно, существует 116 таких дробей.

Наибольшая из этих дробей будет иметь наибольший возможный числитель $m$, такой, что $m < 236$ и $НОД(m, 236) = 1$. Это означает, что $m$ не должно делиться на простые делители числа 236, то есть на 2 и на 59.

Проверим наибольшее возможное значение для числителя, $m = 235$. Число 235 не делится на 2 (так как оно нечетное) и не делится на 59 (так как $59 \cdot 4 = 236$). Следовательно, $НОД(235, 236) = 1$, и 235 — это самый большой возможный числитель. Наибольшая дробь — это $235/236$.

Ответ: существует 116 дробей, наибольшая из них — $235/236$.

2.4. Среди правильных дробей вида $ \frac{n}{12} $, где $n$ — натуральное

число, найдите ближайшую к числу:

а) $ \frac{2}{7} $;

б) $ \frac{3}{7} $;

в) $ \frac{4}{7} $;

г) $ \frac{6}{7} $.

а) $\frac{2}{7}$
Задача состоит в том, чтобы найти такую правильную дробь вида $\frac{n}{12}$ (где $n$ — натуральное число от 1 до 11), которая находится на числовой оси ближе всего к дроби $\frac{2}{7}$. Это означает, что нам нужно найти $n$, для которого модуль разности $|\frac{n}{12} - \frac{2}{7}|$ будет минимальным.
Сначала найдем, какому значению было бы равно $n$, если бы дроби были равны:
$\frac{n}{12} = \frac{2}{7}$
$n = 12 \cdot \frac{2}{7} = \frac{24}{7} \approx 3.428$
Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, мы должны выбрать целое число, ближайшее к $3.428$. Такими числами являются 3 и 4. Оба этих значения допустимы, так как они находятся в диапазоне от 1 до 11.
Теперь сравним, какая из дробей, $\frac{3}{12}$ или $\frac{4}{12}$, ближе к $\frac{2}{7}$. Для этого вычислим расстояния (модули разностей):
1. Для $n=3$: расстояние равно $|\frac{3}{12} - \frac{2}{7}| = |\frac{1}{4} - \frac{2}{7}|$. Приводим к общему знаменателю 28: $|\frac{7}{28} - \frac{8}{28}| = |-\frac{1}{28}| = \frac{1}{28}$.
2. Для $n=4$: расстояние равно $|\frac{4}{12} - \frac{2}{7}| = |\frac{1}{3} - \frac{2}{7}|$. Приводим к общему знаменателю 21: $|\frac{7}{21} - \frac{6}{21}| = |\frac{1}{21}| = \frac{1}{21}$.
Сравниваем полученные расстояния: $\frac{1}{28}$ и $\frac{1}{21}$. Так как у дробей одинаковый числитель, меньше та дробь, у которой знаменатель больше. Поскольку $28 > 21$, то $\frac{1}{28} < \frac{1}{21}$.
Наименьшее расстояние соответствует $n=3$.
Ответ: $\frac{3}{12}$.

б) $\frac{3}{7}$
Ищем ближайшую к числу $\frac{3}{7}$ правильную дробь вида $\frac{n}{12}$ ($1 \le n \le 11$).
Найдем значение $n$, при котором $\frac{n}{12} \approx \frac{3}{7}$:
$n \approx 12 \cdot \frac{3}{7} = \frac{36}{7} \approx 5.143$
Ближайшие к $5.143$ натуральные числа — это 5 и 6. Проверим оба варианта.
1. Для $n=5$: расстояние $|\frac{5}{12} - \frac{3}{7}| = |\frac{5 \cdot 7 - 3 \cdot 12}{12 \cdot 7}| = |\frac{35 - 36}{84}| = |-\frac{1}{84}| = \frac{1}{84}$.
2. Для $n=6$: расстояние $|\frac{6}{12} - \frac{3}{7}| = |\frac{1}{2} - \frac{3}{7}| = |\frac{7 - 6}{14}| = \frac{1}{14}$.
Сравним расстояния $\frac{1}{84}$ и $\frac{1}{14}$. Так как $84 > 14$, то $\frac{1}{84} < \frac{1}{14}$.
Наименьшее расстояние соответствует $n=5$.
Ответ: $\frac{5}{12}$.

в) $\frac{4}{7}$
Ищем ближайшую к числу $\frac{4}{7}$ правильную дробь вида $\frac{n}{12}$ ($1 \le n \le 11$).
Найдем значение $n$, при котором $\frac{n}{12} \approx \frac{4}{7}$:
$n \approx 12 \cdot \frac{4}{7} = \frac{48}{7} \approx 6.857$
Ближайшие к $6.857$ натуральные числа — это 6 и 7. Проверим оба варианта.
1. Для $n=6$: расстояние $|\frac{6}{12} - \frac{4}{7}| = |\frac{1}{2} - \frac{4}{7}| = |\frac{7 - 8}{14}| = |-\frac{1}{14}| = \frac{1}{14}$.
2. Для $n=7$: расстояние $|\frac{7}{12} - \frac{4}{7}| = |\frac{7 \cdot 7 - 4 \cdot 12}{12 \cdot 7}| = |\frac{49 - 48}{84}| = \frac{1}{84}$.
Сравним расстояния $\frac{1}{14}$ и $\frac{1}{84}$. Так как $14 < 84$, то $\frac{1}{14} > \frac{1}{84}$.
Наименьшее расстояние соответствует $n=7$.
Ответ: $\frac{7}{12}$.

г) $\frac{6}{7}$
Ищем ближайшую к числу $\frac{6}{7}$ правильную дробь вида $\frac{n}{12}$ ($1 \le n \le 11$).
Найдем значение $n$, при котором $\frac{n}{12} \approx \frac{6}{7}$:
$n \approx 12 \cdot \frac{6}{7} = \frac{72}{7} \approx 10.286$
Ближайшие к $10.286$ натуральные числа — это 10 и 11. Проверим оба варианта.
1. Для $n=10$: расстояние $|\frac{10}{12} - \frac{6}{7}| = |\frac{5}{6} - \frac{6}{7}| = |\frac{5 \cdot 7 - 6 \cdot 6}{42}| = |\frac{35 - 36}{42}| = |-\frac{1}{42}| = \frac{1}{42}$.
2. Для $n=11$: расстояние $|\frac{11}{12} - \frac{6}{7}| = |\frac{11 \cdot 7 - 6 \cdot 12}{84}| = |\frac{77 - 72}{84}| = \frac{5}{84}$.
Сравним расстояния $\frac{1}{42}$ и $\frac{5}{84}$. Приведем дробь $\frac{1}{42}$ к знаменателю 84: $\frac{1}{42} = \frac{2}{84}$.
Теперь сравним $\frac{2}{84}$ и $\frac{5}{84}$. Так как $2 < 5$, то $\frac{2}{84} < \frac{5}{84}$.
Наименьшее расстояние соответствует $n=10$.
Ответ: $\frac{10}{12}$.

2.5. Среди всех дробей вида $\frac{n}{17}$, где $n$ — натуральное число, найдите ближайшую к числу:

а) $\frac{2}{7}$;

б) $\frac{3}{7}$;

в) $\frac{4}{7}$;

г) $\frac{6}{7}$.

а) $\frac{2}{7}$

Чтобы найти дробь вида $\frac{n}{17}$, ближайшую к числу $\frac{2}{7}$, необходимо найти такое натуральное число $n$, при котором модуль разности $\left|\frac{n}{17} - \frac{2}{7}\right|$ будет минимальным. Это равносильно поиску целого числа $n$, ближайшего к значению $17 \cdot \frac{2}{7}$.

Вычислим это значение:$17 \cdot \frac{2}{7} = \frac{34}{7} = 4\frac{6}{7}$.

Число $4\frac{6}{7}$ находится между целыми числами 4 и 5. Значит, искомая дробь находится между $\frac{4}{17}$ и $\frac{5}{17}$. Чтобы определить, какая из них ближе к $\frac{2}{7}$, приведем все три дроби к общему знаменателю $17 \cdot 7 = 119$:

• $\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 17}{7 \cdot 17} = \frac{34}{119}$
• $\frac{4}{17} = \frac{4 \cdot 7}{17 \cdot 7} = \frac{28}{119}$
• $\frac{5}{17} = \frac{5 \cdot 7}{17 \cdot 7} = \frac{35}{119}$

Теперь сравним расстояния на числовой оси по числителям. Расстояние от 34 до 28 равно $34 - 28 = 6$. Расстояние от 34 до 35 равно $35 - 34 = 1$.Поскольку $1 < 6$, число 35 ближе к 34, чем 28. Следовательно, дробь $\frac{5}{17}$ ближе к $\frac{2}{7}$.

Ответ: $\frac{5}{17}$.

б) $\frac{3}{7}$

Аналогично, ищем целое число $n$, ближайшее к значению $17 \cdot \frac{3}{7}$.

Вычислим это значение:$17 \cdot \frac{3}{7} = \frac{51}{7} = 7\frac{2}{7}$.

Число $7\frac{2}{7}$ находится между целыми числами 7 и 8. Сравниваем дроби $\frac{7}{17}$ и $\frac{8}{17}$ с дробью $\frac{3}{7}$. Приведем их к общему знаменателю 119:

• $\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 17}{7 \cdot 17} = \frac{51}{119}$
• $\frac{7}{17} = \frac{7 \cdot 7}{17 \cdot 7} = \frac{49}{119}$
• $\frac{8}{17} = \frac{8 \cdot 7}{17 \cdot 7} = \frac{56}{119}$

Сравниваем расстояния по числителям. Расстояние от 51 до 49 равно $51 - 49 = 2$. Расстояние от 51 до 56 равно $56 - 51 = 5$.Поскольку $2 < 5$, число 49 ближе к 51, чем 56. Следовательно, дробь $\frac{7}{17}$ ближе к $\frac{3}{7}$.

Ответ: $\frac{7}{17}$.

в) $\frac{4}{7}$

Ищем целое число $n$, ближайшее к значению $17 \cdot \frac{4}{7}$.

Вычислим это значение:$17 \cdot \frac{4}{7} = \frac{68}{7} = 9\frac{5}{7}$.

Число $9\frac{5}{7}$ находится между целыми числами 9 и 10. Сравниваем дроби $\frac{9}{17}$ и $\frac{10}{17}$ с дробью $\frac{4}{7}$. Приведем их к общему знаменателю 119:

• $\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 17}{7 \cdot 17} = \frac{68}{119}$
• $\frac{9}{17} = \frac{9 \cdot 7}{17 \cdot 7} = \frac{63}{119}$
• $\frac{10}{17} = \frac{10 \cdot 7}{17 \cdot 7} = \frac{70}{119}$

Сравниваем расстояния по числителям. Расстояние от 68 до 63 равно $68 - 63 = 5$. Расстояние от 68 до 70 равно $70 - 68 = 2$.Поскольку $2 < 5$, число 70 ближе к 68, чем 63. Следовательно, дробь $\frac{10}{17}$ ближе к $\frac{4}{7}$.

Ответ: $\frac{10}{17}$.

г) $\frac{6}{7}$

Ищем целое число $n$, ближайшее к значению $17 \cdot \frac{6}{7}$.

Вычислим это значение:$17 \cdot \frac{6}{7} = \frac{102}{7} = 14\frac{4}{7}$.

Число $14\frac{4}{7}$ находится между целыми числами 14 и 15. Сравниваем дроби $\frac{14}{17}$ и $\frac{15}{17}$ с дробью $\frac{6}{7}$. Приведем их к общему знаменателю 119:

• $\frac{6}{7} = \frac{6 \cdot 17}{7 \cdot 17} = \frac{102}{119}$
• $\frac{14}{17} = \frac{14 \cdot 7}{17 \cdot 7} = \frac{98}{119}$
• $\frac{15}{17} = \frac{15 \cdot 7}{17 \cdot 7} = \frac{105}{119}$

Сравниваем расстояния по числителям. Расстояние от 102 до 98 равно $102 - 98 = 4$. Расстояние от 102 до 105 равно $105 - 102 = 3$.Поскольку $3 < 4$, число 105 ближе к 102, чем 98. Следовательно, дробь $\frac{15}{17}$ ближе к $\frac{6}{7}$.

Ответ: $\frac{15}{17}$.

2.6. Найдите число вида $\frac{m}{n}$ ($m, n$ — натуральные взаимно простые числа) с наименьшим знаменателем, лежащее на числовой прямой между числами:

а) $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{3}$;

б) $\frac{2}{9}$ и $\frac{2}{7}$;

в) $\frac{3}{4}$ и $\frac{4}{3}$;

г) $\frac{121}{323}$ и $\frac{101}{232}$.

а)

Требуется найти несократимую дробь $\frac{m}{n}$ с наименьшим натуральным знаменателем $n$, удовлетворяющую неравенству:

$$ \frac{1}{3} < \frac{m}{n} < \frac{2}{3} $$

Это неравенство эквивалентно $ \frac{n}{3} < m < \frac{2n}{3} $. Мы ищем пару натуральных взаимно простых чисел $(m, n)$, удовлетворяющих этому условию, при наименьшем возможном $n$. Будем перебирать натуральные значения $n$ начиная с 1.

При $n=1$: $ \frac{1}{3} < m < \frac{2}{3} $. В этом интервале ($0.33... < m < 0.66...$) нет целых чисел $m$.

При $n=2$: $ \frac{2}{3} < m < \frac{4}{3} $. В этом интервале ($0.66... < m < 1.33...$) есть одно целое число $m=1$.

Получаем дробь $\frac{1}{2}$. Проверяем, являются ли числа $m=1$ и $n=2$ взаимно простыми. Да, $\text{НОД}(1, 2) = 1$.

Поскольку мы нашли решение для $n=2$, а для $n=1$ решения нет, $n=2$ является наименьшим знаменателем. Проверим, что дробь лежит в заданном интервале: $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$ (так как $2 < 3$) и $\frac{1}{2} < \frac{2}{3}$ (так как $3 < 4$). Неравенство выполняется.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б)

Сначала сравним дроби $\frac{2}{9}$ и $\frac{2}{7}$. Так как у дробей одинаковые числители, а $9 > 7$, то $\frac{2}{9} < \frac{2}{7}$. Требуется найти несократимую дробь $\frac{m}{n}$ с наименьшим натуральным знаменателем $n$, удовлетворяющую неравенству:

$$ \frac{2}{9} < \frac{m}{n} < \frac{2}{7} $$

Это неравенство эквивалентно $ \frac{2n}{9} < m < \frac{2n}{7} $. Будем перебирать натуральные значения $n$ начиная с 1.

При $n=1$: $ \frac{2}{9} < m < \frac{2}{7} $ ($0.22... < m < 0.28...$). Нет целых $m$.

При $n=2$: $ \frac{4}{9} < m < \frac{4}{7} $ ($0.44... < m < 0.57...$). Нет целых $m$.

При $n=3$: $ \frac{6}{9} < m < \frac{6}{7} $, то есть $ \frac{2}{3} < m < \frac{6}{7} $ ($0.66... < m < 0.85...$). Нет целых $m$.

При $n=4$: $ \frac{8}{9} < m < \frac{8}{7} $ ($0.88... < m < 1.14...$). В этом интервале есть одно целое число $m=1$.

Получаем дробь $\frac{1}{4}$. Проверяем: $\text{НОД}(1, 4) = 1$. Числа взаимно простые.

Так как мы нашли решение для $n=4$ и не нашли для $n=1, 2, 3$, то $n=4$ является наименьшим знаменателем. Проверим неравенство: $\frac{2}{9} < \frac{1}{4}$ (так как $8 < 9$) и $\frac{1}{4} < \frac{2}{7}$ (так как $7 < 8$). Неравенство выполняется.

Ответ: $\frac{1}{4}$

в)

Заданные числа — $\frac{3}{4}$ и $\frac{4}{3}$. Так как $\frac{3}{4} < 1$ и $\frac{4}{3} > 1$, то очевидно, что $\frac{3}{4} < \frac{4}{3}$. Требуется найти несократимую дробь $\frac{m}{n}$ с наименьшим натуральным знаменателем $n$, удовлетворяющую неравенству:

$$ \frac{3}{4} < \frac{m}{n} < \frac{4}{3} $$

Это неравенство эквивалентно $ \frac{3n}{4} < m < \frac{4n}{3} $. Будем перебирать натуральные значения $n$ начиная с 1.

При $n=1$: $ \frac{3}{4} < m < \frac{4}{3} $ ($0.75 < m < 1.33...$). В этом интервале есть одно целое число $m=1$.

Получаем дробь $\frac{1}{1}$. Числа $m=1$ и $n=1$ взаимно простые ($\text{НОД}(1, 1) = 1$). Знаменатель $n=1$ является наименьшим возможным натуральным числом, поэтому это искомая дробь.

Ответ: $\frac{1}{1}$

г)

Сравним дроби $\frac{121}{323}$ и $\frac{101}{232}$. Для этого приведем их к общему знаменателю или сравним их перекрестным умножением:

$121 \times 232 = 28072$

$101 \times 323 = 32623$

Так как $28072 < 32623$, то $\frac{121}{323} < \frac{101}{232}$. Требуется найти несократимую дробь $\frac{m}{n}$ с наименьшим натуральным знаменателем $n$, удовлетворяющую неравенству:

$$ \frac{121}{323} < \frac{m}{n} < \frac{101}{232} $$

Это неравенство эквивалентно $ \frac{121n}{323} < m < \frac{101n}{232} $. Будем перебирать натуральные значения $n$ начиная с 1.

При $n=1$: $ \frac{121}{323} < m < \frac{101}{232} $ ($0.374... < m < 0.435...$). Нет целых $m$.

При $n=2$: $ \frac{242}{323} < m < \frac{202}{232} $ ($0.749... < m < 0.870...$). Нет целых $m$.

При $n=3$: $ \frac{363}{323} < m < \frac{303}{232} $ ($1.123... < m < 1.306...$). Нет целых $m$.

При $n=4$: $ \frac{484}{323} < m < \frac{404}{232} $ ($1.498... < m < 1.741...$). Нет целых $m$.

При $n=5$: $ \frac{605}{323} < m < \frac{505}{232} $ ($1.873... < m < 2.176...$). В этом интервале есть одно целое число $m=2$.

Получаем дробь $\frac{2}{5}$. Проверяем: $\text{НОД}(2, 5) = 1$. Числа взаимно простые.

Так как мы нашли решение для $n=5$ и не нашли для $n=1, 2, 3, 4$, то $n=5$ является наименьшим знаменателем. Проверим неравенство: $\frac{2}{5} = 0.4$. Условие $\frac{121}{323} < 0.4 < \frac{101}{232}$ выполняется, так как $121 \times 5 = 605 < 323 \times 2 = 646$ и $2 \times 232 = 464 < 101 \times 5 = 505$.

Ответ: $\frac{2}{5}$

2.7. Найдите число, равноудалённое от чисел:

a) $\frac{5}{6}$ и $\frac{6}{5}$;

б) $\frac{171}{363}$ и $\frac{101}{242}$.

Чтобы найти число, равноудалённое от двух данных чисел, нужно найти их среднее арифметическое. Среднее арифметическое двух чисел $a$ и $b$ вычисляется по формуле $ \frac{a+b}{2} $.

а)

Найдём среднее арифметическое чисел $ \frac{5}{6} $ и $ \frac{6}{5} $.

1. Сначала сложим эти числа. Для этого приведём их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 6 и 5 равен $ 6 \cdot 5 = 30 $.

$ \frac{5}{6} + \frac{6}{5} = \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} + \frac{6 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{25}{30} + \frac{36}{30} = \frac{25+36}{30} = \frac{61}{30} $

2. Теперь разделим полученную сумму на 2, чтобы найти среднее арифметическое.

$ \frac{61}{30} : 2 = \frac{61}{30 \cdot 2} = \frac{61}{60} $

Искомое число, равноудалённое от $ \frac{5}{6} $ и $ \frac{6}{5} $, равно $ \frac{61}{60} $.

Ответ: $ \frac{61}{60} $.

б)

Найдём среднее арифметическое чисел $ \frac{171}{363} $ и $ \frac{101}{242} $.

1. Сначала упростим дроби, если это возможно.

Для дроби $ \frac{171}{363} $: числитель $171$ и знаменатель $363$ делятся на 3 (так как сумма цифр каждого числа кратна 3: $1+7+1=9$ и $3+6+3=12$).

$ \frac{171}{363} = \frac{171 \div 3}{363 \div 3} = \frac{57}{121} $

Дробь $ \frac{101}{242} $ является несократимой, так как 101 – простое число, а 242 на 101 не делится.

2. Теперь сложим полученные дроби $ \frac{57}{121} $ и $ \frac{101}{242} $. Общий знаменатель для 121 и 242 равен 242 (так как $ 242 = 121 \cdot 2 $).

$ \frac{57}{121} + \frac{101}{242} = \frac{57 \cdot 2}{121 \cdot 2} + \frac{101}{242} = \frac{114}{242} + \frac{101}{242} = \frac{114+101}{242} = \frac{215}{242} $

3. Разделим полученную сумму на 2, чтобы найти среднее арифметическое.

$ \frac{215}{242} : 2 = \frac{215}{242 \cdot 2} = \frac{215}{484} $

Искомое число, равноудалённое от $ \frac{171}{363} $ и $ \frac{101}{242} $, равно $ \frac{215}{484} $.

Ответ: $ \frac{215}{484} $.

2.8. Известно, что $0 < a < b$. Какое из двух чисел, $\frac{a}{b}$ или $\frac{b}{a}$, лежит ближе к 1?

Чтобы определить, какое из двух чисел, $ \frac{a}{b} $ или $ \frac{b}{a} $, лежит ближе к 1, необходимо сравнить расстояния от этих чисел до 1 на числовой прямой. Расстояние между двумя точками $x$ и $y$ вычисляется как модуль их разности, то есть $ |x - y| $.

Таким образом, нам нужно сравнить два значения: $ |\frac{a}{b} - 1| $ и $ |\frac{b}{a} - 1| $.

Проанализируем каждое расстояние отдельно, используя условие $ 0 < a < b $.

1. Расстояние от $ \frac{a}{b} $ до 1.
Поскольку $ a < b $ и оба числа положительны, то дробь $ \frac{a}{b} $ является правильной, то есть $ 0 < \frac{a}{b} < 1 $. Это означает, что число $ \frac{a}{b} $ находится на числовой оси левее 1, и разность $ \frac{a}{b} - 1 $ отрицательна.
Следовательно, модуль этой разности равен:
$ |\frac{a}{b} - 1| = -(\frac{a}{b} - 1) = 1 - \frac{a}{b} = \frac{b - a}{b} $

2. Расстояние от $ \frac{b}{a} $ до 1.
Поскольку $ b > a $ и оба числа положительны, то дробь $ \frac{b}{a} $ является неправильной, то есть $ \frac{b}{a} > 1 $. Это означает, что число $ \frac{b}{a} $ находится на числовой оси правее 1, и разность $ \frac{b}{a} - 1 $ положительна.
Следовательно, модуль этой разности равен:
$ |\frac{b}{a} - 1| = \frac{b}{a} - 1 = \frac{b - a}{a} $

Теперь сравним полученные расстояния: $ \frac{b-a}{b} $ и $ \frac{b-a}{a} $.
Числители этих двух дробей одинаковы и равны $ b - a $. Так как по условию $ a < b $, то $ b - a > 0 $, то есть числитель положителен.
Знаменатели дробей — это $ b $ и $ a $. По условию $ 0 < a < b $.
Из двух дробей с одинаковыми положительными числителями меньше та, у которой знаменатель больше. Поскольку $ b > a $, получаем неравенство:
$ \frac{b-a}{b} < \frac{b-a}{a} $

Таким образом, $ |\frac{a}{b} - 1| < |\frac{b}{a} - 1| $. Это означает, что расстояние от числа $ \frac{a}{b} $ до 1 меньше, чем расстояние от числа $ \frac{b}{a} $ до 1. Следовательно, число $ \frac{a}{b} $ лежит ближе к 1.

Ответ: число $ \frac{a}{b} $ лежит ближе к 1.

2.9. Запишите целое число в виде бесконечной десятичной периодической дроби:

а) 1;

б) 20;

в) -4;

г) -111.

Чтобы представить целое число в виде бесконечной десятичной периодической дроби, необходимо записать это число, поставить после него десятичную запятую и добавить в дробной части бесконечно повторяющуюся цифру или группу цифр (период). Для целых чисел самым простым способом является использование периода, состоящего из нуля.

а) Целое число 1 можно представить с бесконечной десятичной частью, состоящей из нулей: $1,000...$ . В этом случае цифра 0 является бесконечно повторяющимся периодом. В стандартной записи для периодических дробей это выглядит как $1,(0)$.
Ответ: $1,(0)$

б) Аналогично поступаем с числом 20. Записываем его с десятичной запятой и добавляем бесконечную последовательность нулей в дробной части: $20,000...$ . Периодом дроби является 0. Таким образом, в виде периодической дроби число 20 записывается как $20,(0)$.
Ответ: $20,(0)$

в) Тот же принцип применяется и к отрицательным целым числам. Число -4 мы можем представить в виде $-4,000...$ . Период этой дроби равен 0. Следовательно, запись числа -4 в виде бесконечной десятичной периодической дроби будет $-4,(0)$.
Ответ: $-4,(0)$

г) Для целого числа -111 процедура не меняется. Мы представляем его с бесконечной дробной частью из нулей: $-111,000...$ . Периодом здесь также является 0. Запись в виде периодической дроби: $-111,(0)$.
Ответ: $-111,(0)$

2.10. Запишите обыкновенную дробь в виде бесконечной десятичной периодической дроби:

а) $ \frac{2}{3} $;

б) $ \frac{3}{7} $;

в) $ \frac{8}{11} $;

г) $ \frac{4}{15} $.

а) Для того чтобы представить обыкновенную дробь $\frac{2}{3}$ в виде бесконечной десятичной дроби, необходимо разделить числитель на знаменатель. Выполним деление 2 на 3.

$2 \div 3 = 0$ (целая часть), остаток 2.
Сносим 0, делим 20 на 3: $20 \div 3 = 6$, остаток 2.
Снова сносим 0, делим 20 на 3: $20 \div 3 = 6$, остаток 2.

Мы видим, что остаток 2 постоянно повторяется, следовательно, в частном после запятой будет бесконечно повторяться цифра 6. Это чистая периодическая дробь.

Таким образом, $\frac{2}{3} = 0.666... = 0.(6)$.

Ответ: $0.(6)$

б) Чтобы представить дробь $\frac{3}{7}$ в виде периодической, разделим числитель 3 на знаменатель 7.

Выполняем деление $3 \div 7$ столбиком:
$30 \div 7 = 4$, остаток 2.
$20 \div 7 = 2$, остаток 6.
$60 \div 7 = 8$, остаток 4.
$40 \div 7 = 5$, остаток 5.
$50 \div 7 = 7$, остаток 1.
$10 \div 7 = 1$, остаток 3.

Остаток снова стал равен 3, что равно исходному числителю. Это означает, что последовательность цифр в частном $428571$ начнет повторяться. Эта последовательность и является периодом дроби.

Таким образом, $\frac{3}{7} = 0.428571428571... = 0.(428571)$.

Ответ: $0.(428571)$

в) Чтобы представить дробь $\frac{8}{11}$ в виде периодической, разделим числитель 8 на знаменатель 11.

Выполняем деление $8 \div 11$ столбиком:
$80 \div 11 = 7$, остаток 3.
$30 \div 11 = 2$, остаток 8.

Остаток снова стал равен 8. Следовательно, последовательность цифр $72$ в частном будет повторяться. Это и есть период дроби.

Таким образом, $\frac{8}{11} = 0.727272... = 0.(72)$.

Ответ: $0.(72)$

г) Чтобы представить дробь $\frac{4}{15}$ в виде периодической, разделим числитель 4 на знаменатель 15.

Выполняем деление $4 \div 15$ столбиком:
$40 \div 15 = 2$, остаток 10.
$100 \div 15 = 6$, остаток 10.
$100 \div 15 = 6$, остаток 10.

После первого шага деления мы получаем в частном цифру 2, а остаток равен 10. Далее при делении остаток 10 будет постоянно повторяться, а значит, в частном будет повторяться цифра 6. В результате получаем смешанную периодическую дробь, где 2 — это предпериод (часть до периода), а 6 — сам период.

Таким образом, $\frac{4}{15} = 0.2666... = 0.2(6)$.

Ответ: $0.2(6)$