Номер 2.6, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2.6. Найдите число вида $\frac{m}{n}$ ($m, n$ — натуральные взаимно простые числа) с наименьшим знаменателем, лежащее на числовой прямой между числами:

а) $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{3}$;

б) $\frac{2}{9}$ и $\frac{2}{7}$;

в) $\frac{3}{4}$ и $\frac{4}{3}$;

г) $\frac{121}{323}$ и $\frac{101}{232}$.

а)

Требуется найти несократимую дробь $\frac{m}{n}$ с наименьшим натуральным знаменателем $n$, удовлетворяющую неравенству:

$$ \frac{1}{3} < \frac{m}{n} < \frac{2}{3} $$

Это неравенство эквивалентно $ \frac{n}{3} < m < \frac{2n}{3} $. Мы ищем пару натуральных взаимно простых чисел $(m, n)$, удовлетворяющих этому условию, при наименьшем возможном $n$. Будем перебирать натуральные значения $n$ начиная с 1.

При $n=1$: $ \frac{1}{3} < m < \frac{2}{3} $. В этом интервале ($0.33... < m < 0.66...$) нет целых чисел $m$.

При $n=2$: $ \frac{2}{3} < m < \frac{4}{3} $. В этом интервале ($0.66... < m < 1.33...$) есть одно целое число $m=1$.

Получаем дробь $\frac{1}{2}$. Проверяем, являются ли числа $m=1$ и $n=2$ взаимно простыми. Да, $\text{НОД}(1, 2) = 1$.

Поскольку мы нашли решение для $n=2$, а для $n=1$ решения нет, $n=2$ является наименьшим знаменателем. Проверим, что дробь лежит в заданном интервале: $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$ (так как $2 < 3$) и $\frac{1}{2} < \frac{2}{3}$ (так как $3 < 4$). Неравенство выполняется.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б)

Сначала сравним дроби $\frac{2}{9}$ и $\frac{2}{7}$. Так как у дробей одинаковые числители, а $9 > 7$, то $\frac{2}{9} < \frac{2}{7}$. Требуется найти несократимую дробь $\frac{m}{n}$ с наименьшим натуральным знаменателем $n$, удовлетворяющую неравенству:

$$ \frac{2}{9} < \frac{m}{n} < \frac{2}{7} $$

Это неравенство эквивалентно $ \frac{2n}{9} < m < \frac{2n}{7} $. Будем перебирать натуральные значения $n$ начиная с 1.

При $n=1$: $ \frac{2}{9} < m < \frac{2}{7} $ ($0.22... < m < 0.28...$). Нет целых $m$.

При $n=2$: $ \frac{4}{9} < m < \frac{4}{7} $ ($0.44... < m < 0.57...$). Нет целых $m$.

При $n=3$: $ \frac{6}{9} < m < \frac{6}{7} $, то есть $ \frac{2}{3} < m < \frac{6}{7} $ ($0.66... < m < 0.85...$). Нет целых $m$.

При $n=4$: $ \frac{8}{9} < m < \frac{8}{7} $ ($0.88... < m < 1.14...$). В этом интервале есть одно целое число $m=1$.

Получаем дробь $\frac{1}{4}$. Проверяем: $\text{НОД}(1, 4) = 1$. Числа взаимно простые.

Так как мы нашли решение для $n=4$ и не нашли для $n=1, 2, 3$, то $n=4$ является наименьшим знаменателем. Проверим неравенство: $\frac{2}{9} < \frac{1}{4}$ (так как $8 < 9$) и $\frac{1}{4} < \frac{2}{7}$ (так как $7 < 8$). Неравенство выполняется.

Ответ: $\frac{1}{4}$

в)

Заданные числа — $\frac{3}{4}$ и $\frac{4}{3}$. Так как $\frac{3}{4} < 1$ и $\frac{4}{3} > 1$, то очевидно, что $\frac{3}{4} < \frac{4}{3}$. Требуется найти несократимую дробь $\frac{m}{n}$ с наименьшим натуральным знаменателем $n$, удовлетворяющую неравенству:

$$ \frac{3}{4} < \frac{m}{n} < \frac{4}{3} $$

Это неравенство эквивалентно $ \frac{3n}{4} < m < \frac{4n}{3} $. Будем перебирать натуральные значения $n$ начиная с 1.

При $n=1$: $ \frac{3}{4} < m < \frac{4}{3} $ ($0.75 < m < 1.33...$). В этом интервале есть одно целое число $m=1$.

Получаем дробь $\frac{1}{1}$. Числа $m=1$ и $n=1$ взаимно простые ($\text{НОД}(1, 1) = 1$). Знаменатель $n=1$ является наименьшим возможным натуральным числом, поэтому это искомая дробь.

Ответ: $\frac{1}{1}$

г)

Сравним дроби $\frac{121}{323}$ и $\frac{101}{232}$. Для этого приведем их к общему знаменателю или сравним их перекрестным умножением:

$121 \times 232 = 28072$

$101 \times 323 = 32623$

Так как $28072 < 32623$, то $\frac{121}{323} < \frac{101}{232}$. Требуется найти несократимую дробь $\frac{m}{n}$ с наименьшим натуральным знаменателем $n$, удовлетворяющую неравенству:

$$ \frac{121}{323} < \frac{m}{n} < \frac{101}{232} $$

Это неравенство эквивалентно $ \frac{121n}{323} < m < \frac{101n}{232} $. Будем перебирать натуральные значения $n$ начиная с 1.

При $n=1$: $ \frac{121}{323} < m < \frac{101}{232} $ ($0.374... < m < 0.435...$). Нет целых $m$.

При $n=2$: $ \frac{242}{323} < m < \frac{202}{232} $ ($0.749... < m < 0.870...$). Нет целых $m$.

При $n=3$: $ \frac{363}{323} < m < \frac{303}{232} $ ($1.123... < m < 1.306...$). Нет целых $m$.

При $n=4$: $ \frac{484}{323} < m < \frac{404}{232} $ ($1.498... < m < 1.741...$). Нет целых $m$.

При $n=5$: $ \frac{605}{323} < m < \frac{505}{232} $ ($1.873... < m < 2.176...$). В этом интервале есть одно целое число $m=2$.

Получаем дробь $\frac{2}{5}$. Проверяем: $\text{НОД}(2, 5) = 1$. Числа взаимно простые.

Так как мы нашли решение для $n=5$ и не нашли для $n=1, 2, 3, 4$, то $n=5$ является наименьшим знаменателем. Проверим неравенство: $\frac{2}{5} = 0.4$. Условие $\frac{121}{323} < 0.4 < \frac{101}{232}$ выполняется, так как $121 \times 5 = 605 < 323 \times 2 = 646$ и $2 \times 232 = 464 < 101 \times 5 = 505$.

Ответ: $\frac{2}{5}$