Номер 2.1, страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2.1. Между рациональными числами $a$ и $b$ поместите 5 рациональных чисел:

а) $a = 1,1$, $b = 1,2$;

б) $a = \frac{11}{12}$, $b = \frac{10}{11}$;

в) $a = 11,0001$, $b = 11,0002$;

г) $a = \frac{12\,221}{12\,222}$, $b = \frac{122\,221}{122\,222}$.

а) Чтобы найти 5 рациональных чисел между $a = 1,1$ и $b = 1,2$, можно представить эти числа с большим количеством знаков после запятой, что не изменит их значения. Например, запишем $a = 1,10$ и $b = 1,20$. Теперь очевидно, что между ними находится множество рациональных чисел, например, все числа от $1,11$ до $1,19$. Мы можем выбрать любые 5 из них.
Например, выберем следующие пять чисел: $1,11; 1,12; 1,13; 1,14; 1,15$.
Убедимся, что они удовлетворяют условию: $1,1 < 1,11 < 1,12 < 1,13 < 1,14 < 1,15 < 1,2$.
Ответ: $1,11; 1,12; 1,13; 1,14; 1,15$.

б) Даны числа $a = \frac{11}{12}$ и $b = \frac{10}{11}$. Для начала сравним их, приведя к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 11 и 12 это $11 \times 12 = 132$.
$a = \frac{11 \times 11}{12 \times 11} = \frac{121}{132}$
$b = \frac{10 \times 12}{11 \times 12} = \frac{120}{132}$
Отсюда видно, что $b < a$. Нам нужно найти 5 рациональных чисел в интервале $(\frac{120}{132}, \frac{121}{132})$. Между числителями 120 и 121 нет целых чисел, поэтому, чтобы найти промежуточные дроби, мы можем умножить числитель и знаменатель каждой дроби на число, которое больше или равно $5+1=6$. Умножим на 6:
$b = \frac{120 \times 6}{132 \times 6} = \frac{720}{792}$
$a = \frac{121 \times 6}{132 \times 6} = \frac{726}{792}$
Теперь легко выбрать 5 дробей, находящихся между $\frac{720}{792}$ и $\frac{726}{792}$, изменяя числитель от 721 до 725.
Ответ: $\frac{721}{792}, \frac{722}{792}, \frac{723}{792}, \frac{724}{792}, \frac{725}{792}$.

в) Для чисел $a = 11,0001$ и $b = 11,0002$ используем тот же подход, что и в пункте а). Допишем нули в конце десятичной части, чтобы увеличить "видимое" расстояние между числами: $a = 11,00010$ и $b = 11,00020$. Теперь мы ищем числа в интервале $(11,00010, 11,00020)$.
Мы можем выбрать любые 5 чисел из этого интервала, например: $11,00011; 11,00012; 11,00013; 11,00014; 11,00015$.
Проверка показывает, что $11,0001 < 11,00011 < 11,00012 < 11,00013 < 11,00014 < 11,00015 < 11,0002$.
Ответ: $11,00011; 11,00012; 11,00013; 11,00014; 11,00015$.

г) Даны числа $a = \frac{12221}{12222}$ и $b = \frac{122221}{122222}$. Для удобства сравнения и поиска промежуточных чисел, представим их в виде $1$ минус некоторая дробь:
$a = \frac{12222-1}{12222} = 1 - \frac{1}{12222}$
$b = \frac{122222-1}{122222} = 1 - \frac{1}{122222}$
Так как $12222 < 122222$, то обратные величины соотносятся как $\frac{1}{12222} > \frac{1}{122222}$. Умножив неравенство на $-1$, знак меняется: $-\frac{1}{12222} < -\frac{1}{122222}$. Прибавив 1 к обеим частям, получаем $1 - \frac{1}{12222} < 1 - \frac{1}{122222}$, то есть $a < b$.
Нам нужно найти 5 чисел $x$ в интервале $(a, b)$. Если мы представим искомые числа в виде $x = 1 - y$, то задача сведется к поиску 5 чисел $y$ таких, что $\frac{1}{122222} < y < \frac{1}{12222}$.
Мы можем выбрать числа $y$ вида $\frac{1}{N}$, где целое число $N$ удовлетворяет условию $12222 < N < 122222$.
Возьмем, например, следующие значения для $N$: $13000, 14000, 15000, 16000, 17000$.
Так как $13000 < 14000 < 15000 < 16000 < 17000$, то для обратных величин $y=\frac{1}{N}$ выполняется $\frac{1}{13000} > \frac{1}{14000} > \frac{1}{15000} > \frac{1}{16000} > \frac{1}{17000}$.
Тогда соответствующие значения $x = 1-y$ будут упорядочены по возрастанию: $1 - \frac{1}{13000} < 1 - \frac{1}{14000} < 1 - \frac{1}{15000} < 1 - \frac{1}{16000} < 1 - \frac{1}{17000}$.
Вычислим эти числа: $\frac{12999}{13000}, \frac{13999}{14000}, \frac{14999}{15000}, \frac{15999}{16000}, \frac{16999}{17000}$. Все они находятся между $a$ и $b$.
Ответ: $\frac{12999}{13000}, \frac{13999}{14000}, \frac{14999}{15000}, \frac{15999}{16000}, \frac{16999}{17000}$.