Номер 2.5, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2.5. Среди всех дробей вида $\frac{n}{17}$, где $n$ — натуральное число, найдите ближайшую к числу:

а) $\frac{2}{7}$;

б) $\frac{3}{7}$;

в) $\frac{4}{7}$;

г) $\frac{6}{7}$.

а) $\frac{2}{7}$

Чтобы найти дробь вида $\frac{n}{17}$, ближайшую к числу $\frac{2}{7}$, необходимо найти такое натуральное число $n$, при котором модуль разности $\left|\frac{n}{17} - \frac{2}{7}\right|$ будет минимальным. Это равносильно поиску целого числа $n$, ближайшего к значению $17 \cdot \frac{2}{7}$.

Вычислим это значение:$17 \cdot \frac{2}{7} = \frac{34}{7} = 4\frac{6}{7}$.

Число $4\frac{6}{7}$ находится между целыми числами 4 и 5. Значит, искомая дробь находится между $\frac{4}{17}$ и $\frac{5}{17}$. Чтобы определить, какая из них ближе к $\frac{2}{7}$, приведем все три дроби к общему знаменателю $17 \cdot 7 = 119$:

• $\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 17}{7 \cdot 17} = \frac{34}{119}$
• $\frac{4}{17} = \frac{4 \cdot 7}{17 \cdot 7} = \frac{28}{119}$
• $\frac{5}{17} = \frac{5 \cdot 7}{17 \cdot 7} = \frac{35}{119}$

Теперь сравним расстояния на числовой оси по числителям. Расстояние от 34 до 28 равно $34 - 28 = 6$. Расстояние от 34 до 35 равно $35 - 34 = 1$.Поскольку $1 < 6$, число 35 ближе к 34, чем 28. Следовательно, дробь $\frac{5}{17}$ ближе к $\frac{2}{7}$.

Ответ: $\frac{5}{17}$.

б) $\frac{3}{7}$

Аналогично, ищем целое число $n$, ближайшее к значению $17 \cdot \frac{3}{7}$.

Вычислим это значение:$17 \cdot \frac{3}{7} = \frac{51}{7} = 7\frac{2}{7}$.

Число $7\frac{2}{7}$ находится между целыми числами 7 и 8. Сравниваем дроби $\frac{7}{17}$ и $\frac{8}{17}$ с дробью $\frac{3}{7}$. Приведем их к общему знаменателю 119:

• $\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 17}{7 \cdot 17} = \frac{51}{119}$
• $\frac{7}{17} = \frac{7 \cdot 7}{17 \cdot 7} = \frac{49}{119}$
• $\frac{8}{17} = \frac{8 \cdot 7}{17 \cdot 7} = \frac{56}{119}$

Сравниваем расстояния по числителям. Расстояние от 51 до 49 равно $51 - 49 = 2$. Расстояние от 51 до 56 равно $56 - 51 = 5$.Поскольку $2 < 5$, число 49 ближе к 51, чем 56. Следовательно, дробь $\frac{7}{17}$ ближе к $\frac{3}{7}$.

Ответ: $\frac{7}{17}$.

в) $\frac{4}{7}$

Ищем целое число $n$, ближайшее к значению $17 \cdot \frac{4}{7}$.

Вычислим это значение:$17 \cdot \frac{4}{7} = \frac{68}{7} = 9\frac{5}{7}$.

Число $9\frac{5}{7}$ находится между целыми числами 9 и 10. Сравниваем дроби $\frac{9}{17}$ и $\frac{10}{17}$ с дробью $\frac{4}{7}$. Приведем их к общему знаменателю 119:

• $\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 17}{7 \cdot 17} = \frac{68}{119}$
• $\frac{9}{17} = \frac{9 \cdot 7}{17 \cdot 7} = \frac{63}{119}$
• $\frac{10}{17} = \frac{10 \cdot 7}{17 \cdot 7} = \frac{70}{119}$

Сравниваем расстояния по числителям. Расстояние от 68 до 63 равно $68 - 63 = 5$. Расстояние от 68 до 70 равно $70 - 68 = 2$.Поскольку $2 < 5$, число 70 ближе к 68, чем 63. Следовательно, дробь $\frac{10}{17}$ ближе к $\frac{4}{7}$.

Ответ: $\frac{10}{17}$.

г) $\frac{6}{7}$

Ищем целое число $n$, ближайшее к значению $17 \cdot \frac{6}{7}$.

Вычислим это значение:$17 \cdot \frac{6}{7} = \frac{102}{7} = 14\frac{4}{7}$.

Число $14\frac{4}{7}$ находится между целыми числами 14 и 15. Сравниваем дроби $\frac{14}{17}$ и $\frac{15}{17}$ с дробью $\frac{6}{7}$. Приведем их к общему знаменателю 119:

• $\frac{6}{7} = \frac{6 \cdot 17}{7 \cdot 17} = \frac{102}{119}$
• $\frac{14}{17} = \frac{14 \cdot 7}{17 \cdot 7} = \frac{98}{119}$
• $\frac{15}{17} = \frac{15 \cdot 7}{17 \cdot 7} = \frac{105}{119}$

Сравниваем расстояния по числителям. Расстояние от 102 до 98 равно $102 - 98 = 4$. Расстояние от 102 до 105 равно $105 - 102 = 3$.Поскольку $3 < 4$, число 105 ближе к 102, чем 98. Следовательно, дробь $\frac{15}{17}$ ближе к $\frac{6}{7}$.

Ответ: $\frac{15}{17}$.