Номер 2.10, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2.10. Запишите обыкновенную дробь в виде бесконечной десятичной периодической дроби:

а) $ \frac{2}{3} $;

б) $ \frac{3}{7} $;

в) $ \frac{8}{11} $;

г) $ \frac{4}{15} $.

а) Для того чтобы представить обыкновенную дробь $\frac{2}{3}$ в виде бесконечной десятичной дроби, необходимо разделить числитель на знаменатель. Выполним деление 2 на 3.

$2 \div 3 = 0$ (целая часть), остаток 2.
Сносим 0, делим 20 на 3: $20 \div 3 = 6$, остаток 2.
Снова сносим 0, делим 20 на 3: $20 \div 3 = 6$, остаток 2.

Мы видим, что остаток 2 постоянно повторяется, следовательно, в частном после запятой будет бесконечно повторяться цифра 6. Это чистая периодическая дробь.

Таким образом, $\frac{2}{3} = 0.666... = 0.(6)$.

Ответ: $0.(6)$

б) Чтобы представить дробь $\frac{3}{7}$ в виде периодической, разделим числитель 3 на знаменатель 7.

Выполняем деление $3 \div 7$ столбиком:
$30 \div 7 = 4$, остаток 2.
$20 \div 7 = 2$, остаток 6.
$60 \div 7 = 8$, остаток 4.
$40 \div 7 = 5$, остаток 5.
$50 \div 7 = 7$, остаток 1.
$10 \div 7 = 1$, остаток 3.

Остаток снова стал равен 3, что равно исходному числителю. Это означает, что последовательность цифр в частном $428571$ начнет повторяться. Эта последовательность и является периодом дроби.

Таким образом, $\frac{3}{7} = 0.428571428571... = 0.(428571)$.

Ответ: $0.(428571)$

в) Чтобы представить дробь $\frac{8}{11}$ в виде периодической, разделим числитель 8 на знаменатель 11.

Выполняем деление $8 \div 11$ столбиком:
$80 \div 11 = 7$, остаток 3.
$30 \div 11 = 2$, остаток 8.

Остаток снова стал равен 8. Следовательно, последовательность цифр $72$ в частном будет повторяться. Это и есть период дроби.

Таким образом, $\frac{8}{11} = 0.727272... = 0.(72)$.

Ответ: $0.(72)$

г) Чтобы представить дробь $\frac{4}{15}$ в виде периодической, разделим числитель 4 на знаменатель 15.

Выполняем деление $4 \div 15$ столбиком:
$40 \div 15 = 2$, остаток 10.
$100 \div 15 = 6$, остаток 10.
$100 \div 15 = 6$, остаток 10.

После первого шага деления мы получаем в частном цифру 2, а остаток равен 10. Далее при делении остаток 10 будет постоянно повторяться, а значит, в частном будет повторяться цифра 6. В результате получаем смешанную периодическую дробь, где 2 — это предпериод (часть до периода), а 6 — сам период.

Таким образом, $\frac{4}{15} = 0.2666... = 0.2(6)$.

Ответ: $0.2(6)$