Номер 2.16, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2.16. Запишите данные десятичные чисто периодические дроби в виде смешанных периодических десятичных дробей, определите их периоды. Единственно ли такое представление:

а) $1,(34);$

б) $30,(115);$

в) $6,(543);$

г) $9,(2610)?$

Чтобы записать чисто периодическую дробь в виде смешанной периодической дроби, нужно одну или несколько цифр из начала периода перенести в дробную часть до периода. При этом сам период циклически сдвигается.

а) Дана чисто периодическая дробь $1,(34)$. Это означает $1.343434...$

Мы можем представить ее в виде смешанной периодической дроби разными способами:

• Перенесем первую цифру периода ('3') в непериодическую часть. Получим $1.3(43)$. Дробь осталась той же ($1.34343...$), но теперь у нее есть непериодическая часть '3' и новый период (43).

• Перенесем первые две цифры периода ('34') в непериодическую часть. Получим $1.34(34)$. Непериодическая часть — '34', новый период — (34).

Ответ: Например, $1.3(43)$ с периодом (43), или $1.34(34)$ с периодом (34).

б) Дана чисто периодическая дробь $30,(115)$. Это означает $30.115115115...$

Примеры представления в виде смешанной периодической дроби:

• Перенесем одну цифру '1': $30.1(151)$. Новый период — (151).

• Перенесем две цифры '11': $30.11(511)$. Новый период — (511).

• Перенесем три цифры '115': $30.115(115)$. Новый период — (115).

Ответ: Например, $30.1(151)$ с периодом (151), или $30.11(511)$ с периодом (511).

в) Дана чисто периодическая дробь $6,(543)$. Это означает $6.543543543...$

Примеры представления в виде смешанной периодической дроби:

• Перенесем одну цифру '5': $6.5(435)$. Новый период — (435).

• Перенесем две цифры '54': $6.54(354)$. Новый период — (354).

Ответ: Например, $6.5(435)$ с периодом (435), или $6.54(354)$ с периодом (354).

г) Дана чисто периодическая дробь $9,(2610)$. Это означает $9.26102610...$

Примеры представления в виде смешанной периодической дроби:

• Перенесем одну цифру '2': $9.2(6102)$. Новый период — (6102).

• Перенесем две цифры '26': $9.26(1026)$. Новый период — (1026).

• Перенесем три цифры '261': $9.261(0261)$. Новый период — (0261).

Ответ: Например, $9.2(6102)$ с периодом (6102), или $9.26(1026)$ с периодом (1026).

Единственно ли такое представление?

Нет, такое представление не является единственным. Как показано в примерах выше, для каждой чисто периодической дроби можно создать бесконечное множество представлений в виде смешанной периодической дроби. Это делается путем выбора разного количества цифр, которые переносятся из начала периода в непериодическую часть. Таким образом, представление чисто периодической дроби в виде смешанной периодической дроби не единственно.