Номер 2.18, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2.18. На числовой прямой отмечены точки $A(-5)$ и $B(10)$. С помощью циркуля и линейки отметьте точку:

а) $C(5)$;

б) $O(0)$;

в) $D(1)$;

г) $P(0,6)$.

а) C(5);

Начальные данные: точки $A(-5)$ и $B(10)$ на числовой прямой. Расстояние между ними составляет $AB = |10 - (-5)| = 15$ единиц. Требуется построить точку $C(5)$. Найдем ее положение относительно данных точек. Расстояние от точки A до точки C равно $AC = |5 - (-5)| = 10$. Расстояние от точки C до точки B равно $BC = |10 - 5| = 5$. Поскольку $AC + BC = 10 + 5 = 15 = AB$, точка C лежит на отрезке AB. Она делит этот отрезок в отношении $AC:BC = 10:5 = 2:1$. Для построения точки C необходимо разделить отрезок AB на $2+1=3$ равные части. Точка C будет второй точкой деления, считая от A.

Построение выполняется по теореме Фалеса. Сначала из точки A под произвольным углом к прямой AB проводится луч. Затем с помощью циркуля на этом луче от точки A откладываются три равных отрезка произвольной длины; обозначим их концы $P_1, P_2, P_3$. Далее, точка $P_3$ соединяется с точкой B. После этого через точки $P_1$ и $P_2$ проводятся прямые, параллельные отрезку $P_3B$. Точки пересечения этих прямых с отрезком AB (обозначим их $K_1$ и $K_2$) разделят отрезок AB на три равные части. Длина каждой части будет равна $15/3 = 5$. Координата точки $K_1$ будет $-5+5=0$, а координата точки $K_2$ будет $0+5=5$. Таким образом, построенная точка $K_2$ является искомой точкой C.

Ответ: Точка C(5) делит отрезок AB в отношении 2:1, считая от точки A. Для ее построения нужно разделить отрезок AB на 3 равные части; C является второй точкой деления от A.

б) O(0);

Требуется построить точку $O(0)$, или начало координат. Найдем ее положение относительно точек A и B. Расстояние от A до O равно $AO = |0 - (-5)| = 5$. Расстояние от O до B равно $OB = |10 - 0| = 10$. Так как $AO + OB = 5 + 10 = 15 = AB$, точка O лежит на отрезке AB. Она делит отрезок в отношении $AO:OB = 5:10 = 1:2$. Это означает, что для построения точки O также необходимо разделить отрезок AB на $1+2=3$ равные части. Точка O будет первой точкой деления, если считать от A.

Построение полностью аналогично построению из пункта а). Разделив отрезок AB на три равные части, мы получаем две точки деления $K_1$ и $K_2$. Как было вычислено ранее, координата точки $K_1$ равна $-5+5=0$. Следовательно, точка $K_1$ является искомой точкой O(0).

Ответ: Точка O(0) делит отрезок AB в отношении 1:2, считая от точки A. Она строится при том же делении отрезка AB на 3 равные части, что и в пункте а); O является первой точкой деления от A.

в) D(1);

Для построения точки $D(1)$ сначала необходимо построить начало координат, точку $O(0)$, как это описано в пункте б). После этого у нас есть точка O(0) и точка B(10). Длина отрезка OB равна 10. Искомая точка D(1) лежит на отрезке OB, так как $0 < 1 < 10$. Расстояние от O до D равно $OD = |1 - 0| = 1$. Чтобы отложить отрезок длиной 1, можно разделить отрезок OB, имеющий длину 10, на 10 равных частей. Каждая такая часть будет иметь длину 1.

Построение выполняется делением отрезка OB на 10 равных частей с помощью циркуля и линейки. Из точки O под произвольным углом к прямой OB проводится луч, на котором откладываются 10 равных отрезков произвольной длины. Конец десятого отрезка соединяется с точкой B. Затем через конец первого отрезка на луче проводится прямая, параллельная прямой, соединяющей конец десятого отрезка и точку B. Точка пересечения этой параллельной прямой с отрезком OB и будет искомой точкой D(1).

Ответ: Для построения точки D(1) сначала строится точка O(0). Затем отрезок OB (длиной 10) делится на 10 равных частей. Точка D(1) является первой точкой деления от O.

г) P(0,6).

Требуется построить точку $P(0,6)$. Координата $0,6$ может быть представлена в виде дроби $3/5$. Для построения этой точки нам необходим единичный отрезок. Построим точки O(0) и D(1) так, как это описано в пунктах б) и в). Теперь у нас есть отрезок OD длиной 1. Искомая точка P(0,6) лежит на отрезке OD. Она делит его в отношении $OP:PD = 0,6:(1-0,6) = 0,6:0,4 = 3:2$. Следовательно, для построения точки P нужно разделить единичный отрезок OD на $3+2=5$ равных частей и взять третью точку деления от O.

Построение заключается в делении отрезка OD на 5 равных частей. Из точки O под произвольным углом к прямой OD проводится луч. На нем откладываются 5 равных отрезков произвольной длины. Конец пятого отрезка, $P'_5$, соединяется с точкой D. Затем через конец третьего отрезка, $P'_3$, проводится прямая, параллельная отрезку $P'_5D$. Точка пересечения этой прямой с отрезком OD и будет искомой точкой P(0,6).

Ответ: Для построения точки P(0,6) сначала строятся точки O(0) и D(1). Затем отрезок OD (длиной 1) делится на 5 равных частей. Точка P(0,6) является третьей точкой деления от O.