Номер 3.2, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

3.2. Используя результат 3.1, докажите иррациональность числа:

а) $5\sqrt{2}$;

б) $-7\sqrt{3}$;

в) $5(1 - \sqrt{3})$;

г) $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{12}$.

В основе всех доказательств лежит метод от противного и использование следующих свойств, которые, предположительно, были установлены в пункте 3.1:

• Числа $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$ и т.д. (квадратные корни из простых чисел) являются иррациональными.
• Сумма, разность, произведение и частное (при делителе, не равном нулю) двух рациональных чисел являются рациональными числами.
• Сумма (или разность) рационального и иррационального числа является иррациональным числом.
• Произведение (или частное) ненулевого рационального числа и иррационального числа является иррациональным числом.

Докажем от противного. Предположим, что число $5\sqrt{2}$ является рациональным. Это означает, что его можно представить в виде $r$, где $r$ — рациональное число ($r \in \mathbb{Q}$).

$5\sqrt{2} = r$

Выразим из этого равенства $\sqrt{2}$, разделив обе части на 5 (рациональное, ненулевое число):

$\sqrt{2} = \frac{r}{5}$

В правой части этого равенства находится частное двух рациональных чисел ($r$ и 5), которое, по свойству рациональных чисел, также является рациональным числом. Однако в левой части находится число $\sqrt{2}$, которое, как известно, иррационально. Получено противоречие: иррациональное число равно рациональному.

Следовательно, наше исходное предположение было неверным.

Ответ: Число $5\sqrt{2}$ является иррациональным.

Докажем от противного. Предположим, что число $-7\sqrt{3}$ рационально. Тогда $-7\sqrt{3} = r$, где $r \in \mathbb{Q}$.

Выразим $\sqrt{3}$, разделив обе части уравнения на -7:

$\sqrt{3} = \frac{r}{-7}$

Так как $r$ и -7 — рациональные числа, их частное $\frac{r}{-7}$ также является рациональным числом. Но $\sqrt{3}$ — иррациональное число. Мы пришли к противоречию.

Значит, наше первоначальное предположение неверно.

Ответ: Число $-7\sqrt{3}$ является иррациональным.

Докажем от противного. Предположим, что число $5(1 - \sqrt{3})$ рационально. Пусть $5(1 - \sqrt{3}) = r$, где $r \in \mathbb{Q}$.

Разделим обе части уравнения на 5:

$1 - \sqrt{3} = \frac{r}{5}$

Правая часть уравнения, $\frac{r}{5}$, является рациональным числом как частное двух рациональных. Обозначим это рациональное число как $q$.

$1 - \sqrt{3} = q$

Теперь выразим из этого равенства $\sqrt{3}$:

$\sqrt{3} = 1 - q$

В правой части стоит разность двух рациональных чисел (1 и $q$), которая также является рациональным числом. Но в левой части стоит иррациональное число $\sqrt{3}$. Полученное противоречие означает, что наше исходное предположение было ложным.

Ответ: Число $5(1 - \sqrt{3})$ является иррациональным.

Докажем от противного. Предположим, что число $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{12}$ рационально. Это значит, что оно равно некоторому рациональному числу $r$.

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{12} = r$

Умножим обе части уравнения на 12:

$\sqrt{3} + \sqrt{15} = 12r$

Произведение $12r$ является рациональным числом, так как $12 \in \mathbb{Q}$ и $r \in \mathbb{Q}$. Обозначим его как $q$.

$\sqrt{3} + \sqrt{15} = q$

Перенесем $\sqrt{3}$ в правую часть:

$\sqrt{15} = q - \sqrt{3}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от одного из корней:

$(\sqrt{15})^2 = (q - \sqrt{3})^2$

$15 = q^2 - 2q\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$

$15 = q^2 - 2q\sqrt{3} + 3$

Теперь выразим член, содержащий $\sqrt{3}$:

$2q\sqrt{3} = q^2 + 3 - 15$

$2q\sqrt{3} = q^2 - 12$

Так как $\sqrt{3} + \sqrt{15} > 0$, то и $q = \sqrt{3} + \sqrt{15} > 0$, следовательно $q \neq 0$. Мы можем разделить обе части на $2q$:

$\sqrt{3} = \frac{q^2 - 12}{2q}$

В правой части этого равенства все компоненты ($q$, 12, 2) и все выполняемые операции (возведение в степень, вычитание, умножение, деление) принадлежат множеству рациональных чисел. Следовательно, вся дробь $\frac{q^2 - 12}{2q}$ является рациональным числом.

Таким образом, мы получили, что иррациональное число $\sqrt{3}$ равно рациональному числу, что является противоречием.

Это доказывает, что наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: Число $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{12}$ является иррациональным.